דבר העורכת... 1 דבר המפמ"רית... 3 מדור חדשות מתמטיות

Transcript

1

2 שער

3

4 דבר העורכת דבר המפמ"רית מדור חדשות מתמטיות נצה מובשוביץ-הדר, הטכניון מכון טכנולוגי לישר... 5 האולפניאדה המתמטית: היבטים תוכניים, ערכיים ומגדריים יצחק איזק, מכללה ירושלים זיוה דויטש, מכללה ירושלים תפיסת המושגים 'קושי' ו'אתגר' בבעיות מתמטיות שגרתיות ולא שגרתיות, בתנאים שונים של מעורבות עם הבעיות מארק אפלבאום, המכללה האקדמית לחינוך ע"ש קיי, באר-שבע מי לפני מי? רכישת עקרונות רצף קבוצות בקרב ילדי הגן ניצה מרק-זגדון, לוינסקי המכללה האקדמית לחינוך בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה משה סטופל, שאנן המכללה האקדמית הדתית לחינוך דוד בן-חיים, הטכניון מכון טכנולוגי לישר; שאנן המכללה האקדמית הדתית לחינוך מדור חוויות מכנס שלמה וינר, מכללת אחווה לחינוך והאוניברסיטה העברית מדור המלצה על ספר שתי מדריכות לארץ הפלאות איליה סיניצקי, גורדון המכללה האקדמית לחינוך ושאנן המכללה האקדמית הדתית לחינוך עורכת: ד"ר קרני שיר שאנן המכללה האקדמית הדתית לחינוך חברי ועדת המערכת: מל"מ טכניון, שאנן המכללה האקדמית הדתית לחינוך פרופ' דוד בן-חיים אוניברסיטת תל-אביב פרופ' דינה תירוש מכללת קיי המכללה האקדמית לחינוך ד"ר מארק אפלבאום דוד ילין המכללה האקדמית לחינוך ד"ר הגר גל גורדון המכללה האקדמית לחינוך ד"ר אילנה לבנברג לוינסקי המכללה האקדמית לחינוך ד"ר טלי נחליי שאנן המכללה האקדמית הדתית לחינוך ד"ר משה סטופל מכון ויצמן למדע ד"ר כס פרידלנדר המכללה האקדמית הערבית לחינוך בישר ד"ר אמ רסלאן אורנים המכללה האקדמית לחינוך ד"ר עטרה שריקי עריכה ונית: החברים שניאותו לכהן בוועדת המערכת אינם מייצגים את מוסדותיהם א תחומי מחקר וגישות מחקר שונים ומגוונים. יפעת פישר ורית בן נון, מכללת שאנן עיצוב, עימוד והבאה לדפוס: תמי יהושע, מכללת שאנן

5 תע-בתכ ןויעו רקחמ יטמתמ ךוניחב 1 העשב,הבוט הנש רח האציש העדוהה ירבחל הליהקה םיקסועה רקחמב ךוניחב יטמתמ רבדב תמקה,תעה-בתכ ינא האג חותפל ןויליגה ןושארה תעה-בתכ רקחמל ןויעו ךוניחב.יטמתמ תעה-בתכ רקחמ" ןויעו ךוניחב "יטמתמ אוה תע-בתכ שדח דעוימה לכל םיקסועה הרשכהב תוחתפתהבו תיעוצקמ םירומ,הקיטמתמל ומכ םג םיטנדוטסל םידמולה םיראתל.םימדקתמ תרטמ תעה-בתכ איה דדועל הביתכ תימדקא,תירבעב םורתל חישל ש הימדקאה,הדשל שיגנהלו ירבחל הליהקה םירקחמ םיקסועה תויגוסב תונוש םוחתב ךוניחה יטמתמה.ץראב רעש ןויליגה ןושארה ונרחב גיצהל לספה םיקהש תווצ MoMath-ה ןיזומה( יטמתמה שדחה )קרוי-וינב לרטנסב קראפ.ןטהנמב ןיא קפס לספש ביהרמ ינועבצו לוכי דמלל ונת םינווגה םיינועבצה םידחוימהו רשא םינייפאמ הקיטמתמה,ללכב ו ךוניחה יטמתמה.טרפב,ףסונב ונא דומלל םילוכי לספמ תובישחה תשגנהבש הקיטמתמה לא םישנאה םא םירקבמ םיעובק םאו ירבוע.חר ןויליגה ןושארה תעה-בתכ ללוכ השו םירודמ העבראו.םירמאמ רודמה,ןושארה חתופה,תעה-בתכ אוה רודמה תושדח" "תויטמתמ תכרועש 'פורפ הצנ -ץיבושבומ רדה.)ןוינכטהמ( לכב ןויליג הצנ ןכדעת ונת תומיעטב ןמ תויוחתפתהה תוילגתהו תויטמתמה תויזכרמה הת.הנשה רודמה ינשה אוה רודמה תויווח"."סנכמ ןויליגב רפסי ונל 'פורפ המ רניו תללכממ(,הווחא הטיסרבינהמו )תירבעה ויתויווח סנכמ SEMT13-ה.גארפב רודמה ןורחאה אוה רודמה הצלמה"."רפס ןויליגב יחכונה ץילמי 'פורפ היליא יקציניס תללכממ( )ןודרוג ןהירפס ר"ד הרטע יקירש 'פורפו הצנ רדה-ץיבושבומ הקיגול' ץראב.'תופה רודמ םותחי.תעה-בתכ תעה-בתכב םימסרופמ םירמאמ,םיינויע םיירקחמ.םיימושייו םירמאמה םימסרפתמה ןויליגב םיללוכ תשק הבחר,םירקחמ לחה םירקחממ ושענש םידלי ליגב,ןגה ךרד םירקחמ םידימלת ייגב,רפסה-תיב הלכו םירקחמב יחרפ,הארוה,םיאקיטמתמ םירקוחו םוחתב ךוניחה.יטמתמה רדס םירמאמה ןויליגב עבקנ יפ- רדס תומש יתיבפלא.םיבתוכה ינא הצור לצנל תונמדזהה תודוהלו לכל ירבח תכרעמה םתדובע,הרוסמה,םהיתונויער רקיעבו םהיתוצע.םתכימת ןיא קפס יכ תכרועכ יתיכז הצובקב הפנ ירבח תכרעמ רשא ל םתרזע ןויליג היה אצוי.רו הדות לכל םיטפושה ירבח הייליהקה םיקסועה הארוהב רקחמבו ךוניחב,יטמתמ ומתרנש תמישמל,טופישה וריזחהו תווח תעד תויניצר ורזעש גורדשב םירמאמה םיעיפומה.ןויליגב

6 2 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי תודה רבה לתמי יהושע ממכללת שאנן, אשר בעזרתה ובעזרת הצוות הנפלא שלה עברו כל המאמרים עריכה ונית וגרפית, וכתב-העת כולו עוצב בצורה כל כך נפלאה. תודה לד"ר יחי פריש ראש מכללת שאנן, המכללה האקדמית הדתית לחינוך, על היוזמה והתמיכה הכספית של המכללה בכתב-העת. תודה מיוחדת אחרונה לידידי היקר, פרופ' דוד בן-חיים, שהדריך אותי לאורך כל הדרך, תמך ברגעים לא קלים, והיה מוכן תמיד לתרום מניסיונו הרב. אני רוצה לנצל את הדמנות ולמין אתכם להמשיך לוח ינו מאמרים, תגובות ורעיונות לקראת הגיליון השני של כתב-העת. עורכת כתב-העת למחקר ועיון בחינוך מתמטי השופטים של המאמרים בכתב-העת )בסדר פביתי( הם: ד"ר מסארווה ח'ירייה ד"ר לאה אסמן פרופ' אביקם גזית ד"ר הגר גל ד"ר זיוה דויטש ד"ר נורית הדס פרופ' רון הוז ד"ר מיכל טבח ד"ר חנה לב ד"ר אילנה לבנברג ד"ר אסתר לוינסון ד"ר משה סטופל ד"ר כס פרידלנדר ד"ר אנטולי קרפטוב ד"ר רותי רייז המכללה האקדמית הערבית לחינוך בישר גורדון המכללה האקדמית לחינוך בית ברל המכללה האקדמית דוד ילין המכללה האקדמית לחינוך מכללה ירושלים מכללה אקדמית תורנית חינוכית מכון וייצמן למדע אוניברסיטת בן גוריון אוניברסיטת תל-אביב אורנים המכללה האקדמית לחינוך גורדון המכללה האקדמית לחינוך אוניברסיטת תל-אביב שאנן המכללה האקדמית הדתית לחינוך מכון וייצמן למדע אוניברסיטת תל-אביב אורנים המכללה האקדמית לחינוך

7 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב 3 הנתינ יל תוכזה ךרבל םוסרפ ןויליגה ןושארה תעה-בתכ שדחה ןויעו רקחמ"."יטמתמ ךוניחב תעה-בתכ דעוימ ללכל םיקסועה ךוניחב,יטמתמ,םירקוחל םירומל,הקיטמתמל הל םינומאה הרשכהה תוחתפתההו תיעוצקמ ירומ,הקיטמתמה,םיטנדוטסל יחרפל הארוהה ללכבו לכל םדא ךוניחהש יטמתמה ץראב בורק.ובלל תעה-בתכ אוה המרופטלפ תפסונ תייליהקל ךוניחה יטמתמה,ץראב לכ,הינווג ןודל קולחלו דחי תונויער,םישדח עומשל רקיעבו.ףתשל וז תונמדזהה קפסל םיארוקל הריקס םירקחמ םיינכדע תויוחתפתהו תושדח תויגוסב תונוש םוחתב הארוהה הדימלהו הקיטמתמ ןמושייו ןווגמב בחר תודוקנ טבמ תויטרת.תוישעמו ןויליגה ןושארה תעה-בתכ סחייתמ תויגוסל תויזכרמ תוקיסעמה ונלוכ רוהב :הקיטמתמה תיינב תוכה תוינכת הכרדההו הרשכהה םידומיל ;יטמתמ ךוניחב םיקסועה סחיה םידימלת הקיטמתמל יומידהו ימצעה רשאכ םינמזמ םידימלתל תויורשפא הדימלל תיאמצע ;הקיטמתמב םימרוגה םיעיפשמה תוסיפת םידימלתה יבגל יישק תומישמ תויטמתמ םירגהו םמעש םילוכי םידימלתה ;דדומתהל שומישו תויעבב תויטנת רקחל הארוהל הדימלו תיתועמשמ.הקיטמתמב תונמדזהב וז ינוצרב ףתשל םכ םייונישב ולחש תוינכתב םידומילה הקיטמתמב תומגמבו,תויזכרמה ליבומש חוקיפה רוה.הקיטמתמה תוינכתב םידומילה הקיטמתמב םשומ שגד ןורקיעב תוירושיקה םיאשונ תויטנוולרהו ייחל םויה.םוי תנשמ א"עשת לחה ךוניחב ידוסיה ךילהת תעמטה היגוגדפ תילטיגיד ירועישב.הקיטמתמ היגוגדפ וז תללוכ יכילהת הארוה הדימל הכרעהו םיינשדח םישועה שומיש לכשומ םילכב םירפסבו,םיילטיגיד תבמ חותיפ הבישח רדסמ,הובג תנתונ הנעמ תונושל,םידימלתה תרשפאמ בחרמ הדימל יפותיש תנמזמו תויצקארטניא הדימל.תויתועמשמ וז הנשה תוביטחבש תישימחה םייניבה תדמלנ תינכת םידומיל השדח.הקיטמתמב תינכתה תתתשומ הארוה,תילריפס תוירושיק ( םיאשונ םייטמתמ םינוש ו ימוחת תעד )םיפסונ תבמו תונייר תומישמו תויטנוולר.תויטנתו םג תוביטחב תונויה,הלחה לחה תנשמ םידומילה,א"עשת התעמטה תינכת תונחבה.השדח תינכתה תנעשנ רתיה בוליש תונייר רוהב הקיטמתמ ןבולישו תומישמ תויביטרגטניא תונמזמה רושיק יאשונ דומילה םינושה.הבישחו

8 4 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב חוקיפה ליבומ יתש םויכ :תויזכרמ תומגמ )1( הדימל תיתועמשמ םודיקו םיגשיה ךות ידכ שומיש היגולונכטב רופישל רוה ;הקיטמתמה )2( לופיט ידימלתב תווצקה ךרוצל תריגס.םירעפה ךוניח אוה ךילהת ו תצות םיכלהמה םיוקמ ונא תרל.דיתעב חוקיפה רוה הקיטמתמה סחיימ תובישח הבר,םודיקל רופיש םוצמצו םירעפ הקיטמתמב ברקב ;םידימלת םודיק יכילהת הדימל םיקימעמ םייטנוולרו ;םידימלתל ןתמ תונמדזה הווש לכל ;דימלת תכיפה -הארוהה הדימל,הקיטמתמה לכב תובכש,ליגה תיתייווחל הנהמו תלוטנ םיחתמ.םידחפו םירומה םירומהו םיידיתעה םה ולא ועיפשיש תוכיא רוה הקיטמתמה תכרעמב ךוניחה ו ןפה ובש ווחי לכ דימלת הדימלתו ידומיל הקיטמתמה ו םתעפשה ךרו.םהייח ינא האור תעה-בתכב תונמדזה רבחל רקחמה השעמהו הירתה.הקיטקרפהו קר רוביח דימתמ ןתיאו הימדקאה הדשל לכוי ףנמל ידומיל הקיטמתמה ץראב םליבוהלו םיאישל.םישדח רוה הקיטמתמה איה תוחי תיתרבח תייליהקל ךוניחה,יטמתמה לכ,הינווג שי דיקפת בושח בוציעב רוה םוחת.הקיטמתמה ר"מפמ הקיטמתמ

9 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי 5 מדור החדשות המתמטיות בעיתון זה אמור לתת לקהל קוראיו תמונה על הדברים המעסיקים את הקהילייה המתמטית בת זמננו. ה נכתב כך שמורי-מורים יוכלו להשתמש בו כפי שה כחומר המופקד לקריאה ולימוד עצמי בידי פרחי-הוראה, או מורים משתלמים, במגמה לפתח את המודעות שלהם לכך שמתמטיקה היא מקצוע שיש בו הרבה מאוד שות בלתי פתורות והדרמה המתרחשת סביב החתירה לפתרונן היא מדהימה. ב רעשו הכותרות באמצעי המדיה התקשורתית התגלה מספר ראשוני חדש, גדול יותר מכל מספר ראשוני ידוע עד כה. אף כי כבר לפני פיים שנה הוכיח אוקלידס שאין סוף למספרים הראשוניים הטבעיים, הגילוי של מספרים ראשוניים גדולים מהווה אתגר בלתי פוסק למתמטיקאים ולחובבים. השימוש של מספרים ראשוניים גדולים להצפנה ולבחינת יעילותן של תוכנות המבצעות במהירות כפל של מספרי-ענק, מתחרה בהנאה הצרופה שמן הסתם טמונה בחיפוש ובגילוי. ספרות יותר מהמספר הראשוני הקודם שהיה 1 הכי גדול עד לגילוי זה. למרבה הצער, נובק לא יכול היה לזכות בפרס בסך $188,888 מאת הקרן Electronic Frontier Foundation שציפתה לראשון שיגלה מספר ראשוני בעל עשרה מיליון ספרות )לפחות(. ב- 15 בדצמבר 2885 התבשרנו על מספר מרסן 3 0, 4 0 2, ראשוני גדול עוד יותר: קרטיס אותו שמחתם של האנשים שגילו פרופסורים שניהם בון, וסטיבן קופר באוניברסיטת המדינה של מיסורי, הייתה מהולה.1 באפריל 2885 התבשרנו כי רופא מנתח מומחה יניים, מרטין נובק, שכתחביב משתתף בחיפוש הבלתי נלאה אחרי מספרי מרסן ראשוניים חדשים המתבצע בשיתוף פעולה בין- לאומי בין מחשבי ענק Great GIMPS: The,Mersenne Prime Search גילה את מספר מרסן הראשוני ה- 42, שהיה המספר הראשוני הכי גדול הידוע אז: בעל 5,016,238 ספרות, מספר מרסן )על שם נזיר צרפתי בשם מארין מרסן ( ה מספר בעל הצורה 1- p 2 כאשר p ה מספר ראשוני. לא כל ראשוני ה מספר מרסן )למשל 5 איננו מספר מרסן( ולא כל מספר מרסן ה ראשוני. למשל 2047 ה מספר מרסן כי = , 11 אבל ה לא ראשוני כי 2845=23x03. אבל מספרי מרסן קלים יותר מהאחרים לזיהוי כמספרים ראשוניים. לכן, החיפוש אחר מספרי-ענק ראשוניים מתמקד במספרי מרסן. עד כה ידועים 40 מספרי מרסן ראשוניים. 25,964, זהו מספר מעל לחצי מיליון

10 6 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי באכזבה מסוימת. מספר מרסן זה, ה- 43 הידוע עד אז, לא זיכה אותם בפרס כי יש לו "רק" 3,152,852 ספרות... צמד החוקרים המשיכו לחפש כן ב גילו עוד מספר מרסן ראשוני, אבל למרבה הצער גם מספר הספרות שלו לא עלה על 18 מיליון ספרות. המרוץ אחרי מספר ראשוני בעל 18 מיליון ספרות נמשך עד שב- 23 באוגוסט 2880 אדסון סמית, מנהל המחשוב במחלקה למתמטיקה באוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, זכה בפרס הגדול על הגילוי של מספר ראשוני כזה. למען האמת, המספר שגילה ה בעל 13 מיליון ספרות! ב ,112,609 1 שבועיים לאחר גילוי המספר, בעל 13 מיליון ספרות, התגלה מספר מרסן ראשוני שיש לו 11 מיליון ספרות "בלבד" בשבועיים בלבד. זו הייתה החמצה של הפרס הגדול. גם 2 37,156, ,643, ה מספר מרסן ראשוני ש"החמיץ את הפרס" בהיותו בעל 12,837,064 ספרות. ה התגלה בשנת 2883 על-ידי הנורווגי אוד מגנר סטרינדמו. המירוץ אחרי מספרי-ענק ראשוניים נמשך ועמו גם פרסים גדלים והולכים. פרס בסך $158,888 מחכה למי שיגלה מספר ראשוני בעל מאה מיליון ספרות או יותר ופרס בסך $258,888 יוענק על גילויו של המספר הראשוני הראשון שמספר הספרות שלו ה ף מיליון )ביליון, או מיליארד 18(. 3 ב חזר קרטיס קופר לראש שורת המגלים של מספרי מרסן ראשוניים בגילוי של המספר הראשוני 57,885, שה בעל 17,425,170 ספרות. צאו וחשבו את אורכו אם מדפיסים את כל הספרות שלו ברווחים של 4 ספרות לכל סנטימטר. בחודש מרץ 2813 פרסם שיניצ'י מוצ'יזוקי את התיקון האחרון בהוכחתו להשערה הנקראת השערת.ABC כמו השערות רבות בתורת המספרים, ההשערה עצמה היא די קלה להבנה. היא עוסקת במשוה האריתמטית הכי בסיסית הדעת על להעלות שניתן a b c באשר,b,a הם מספרים שלמים. במילים פשוטות c,b,a הם שלושה ההשערה טוענת שאם c מספרים משותף, גורם להם שאין שלמים ולמחוברים a, גורמים יש b ראשוניים בעלי מידת ריבוי גבוהה )כלומר, הם מתחלקים בחזקה גבוהה של מספר ראשוני אחד לפחות(, אז לסכום c אין גורמים ראשוניים שמידת הריבוי שלהם גבוהה. לדוגמה:, מחלק את 3 4,64 מחלק את 01. ני ה יש "הרבה" גורמים ראשוניים )שווים(, ילו 145 מתחלק רק בשני גורמים ראשוניים ב- 5 וב- 23 שמידת הריבוי שלהם היא

11 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי 5 במונחים יותר מדויקים נזדקק למושג: מספר שלם חופשי מריבוע free(.)square מספר כזה ה מספר שלם שאינו מתחלק בריבוע של אף מספר שלם פרט ל- 1. לדוגמה המספרים:, 1 6 5, 42 = = חופשיים הם מריבוע. ומתם 54 ו- 55 אינם חופשיים מריבוע כי 54 מתחלק ב- 3 2 ו- 55 מתחלק ב בפירוק לגורמים של מספרים חופשיים מריבוע, הגורמים הראשוניים מופיעים רק פעם אחת. לכל מספר טבעי n אפשר להים את החלק החופשי-מריבוע שלו, שה מכפלת כל גורמיו הראשוניים כשכל אחד מהם מופיע בדיוק פעם אחת. למספר ה מקובל לקר בשם הרדיקל של n. נסמן את המספר ה ב-.R(n) לדוגמה: 3 2 R 360 R כאמור השערת ABC עוסקת בשות של מספרים שלמים זרים c b, a, שבהם מתקיים, a b c כגון מכפלת השלושה היא 108 והרדיקל של המכפלה ה 38 )מדוע?(. במקרה זה קל לראות שהמספר השלישי 3 )שה סכום שני האחרים( קטן יותר מהרדיקל של מכפלת שלושת המספרים. האם יכול לקרות ההפך? כלומר האם יש שלושה מספרים שלמים זרים שהאחד מהם )c( הסכום האחרים שני סכום ה ( a b) )c( השלושה? גדול יותר?c R( abc) מהרדיקל של התשובה שבה מכפלת היא חיובית. כך למשל בעבור השה 32 25, 5, המקיימת את תנאי רות והסכום, מתקיים שמכפלת שלושת רכיביה היא, , 320 של והרדיקל המכפלה, גם כאן, ה 38. אבל במקרה זה המספר השלישי, 32, יותר גדול מהרדיקל של המכפלה. שות מסוג זה הן די נדירות. רק 128 מבין כל השות שבהן c 10,000 הן כו. ף-על-פי-כן יש אינסוף שות כו. נשת השה, עד כמה אפשר "למשוך את העניין", כלומר האם יש שות שבהן המספר השלישי הרבה יותר גדול מהרדיקל, אולי עד כדי כך שה גדול מריבוע הרדיקל? עד היום לא נמצאה שה כזאת. קל למצ דוגמה ה שבה זה לא מתקיים. הנה למשל: בעבור = 3,a,b = 125 השלישייה היא 120,125,3 ומתקיים R 3x125x לא אם מגזימים עד כדי ריבוע הרדיקל של המכפלה ומסתפקים בשות שעבורן המספר השלישי יותר גדול מחזקה α גדולה מ- 1 וקטנה מ- 2 של הרדיקל של המכפלה, אפשר למצ שה שבה הסכום c עולה על הרדיקל של המכפלה באותה חזקה. למשל, השה 2;.6,436,343 ; 6,436,341 במקרה זה, a c=23 ו- b=3 109 לפיכך R abc , 042 ולכל מעריך, , 436,343>15, 042 מתקיים:

12 0 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי. 1 השערת ABC דנה בקיומם של מספר סופי של יוצאים מן הכלל לכל היותר )אם בכלל(, כלומר בקיומן של מספר סופי של שות שבהן c גדול ממש מחזקה גדולה מ- 1 )ולו במעט( 1+ α של הרדיקל של המכפלה.abc תובנות מסוג זה הן מעניינם של מתמטיקאים העוסקים בתורת המספרים, שיה שייכת גם השערת.ABC השערת ה במונחים ABC היותר לכל קיים, 0 אומרת מספר שות של מספרים שלמים חיוביים סופי שלכל של a, זרים c,b המקיימים, a b c. c [R( abc)] 1 שעבורם כלומר, למעט מספר סופי של שות, בדרך- כלל בעבור שלושה מספרים זרים שהאחד שני סכום ה )c( מהם האחרים a b) (, המצב ה ש- c )R] abc)] a כאשר המעריך במילים אחרות אפשר לומר שההשערה קובעת כי לכל > 0 קיים קבוע K( ) כך שלכל שלושה מספרים זרים שהאחד מהם )c( ה סכום שני האחרים )b a( + מתקיים: c K [R( abc] 1 השערת ABC הועלתה בשנת 1305 על-ידי המתמטיקאי הבריטי דיויד מסר והמתמטיקאי הצרפתי ג'וזף אוסטרלה. למעלה מ- 25 שנה חלפו ף מתמטיקאי לא הצליח להוכיח אותה, אף כי רבים וטובים ניסו. בשנת 2886 הוקם על-ידי המחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת ליידן בהולנד פרויקט לאיתור שות של מספרים שלמים חיוביים זרים c,b,a המקיימים,a + b = c שעבורן מתקיימת השערת,ABC מתוך תקווה שיסתמן רמז להוכחת ההשערה על-ידי תבנית כהי שתבצבץ מאוסף המקרים הפרטיים. למעלה מ- 23 מיליון שות הצטברו ברשימה הודות לפי מתמטיקאים מלמעלה ממאה מדינות שונות שהשתתפו בפרויקט עד נת והנה לפני שנה, באוגוסט 2812, מתמטיקאי יפני מאוניברסיטת קיוטו, בשם שיניצ'י מוצ'יזוקי, הכריז שפיצח את סוד ההשערה ופרסם את הוכחתה באינטרנט. מוצ'יזוקי ה מתמטיקאי בעל שם. ה החל את לימודיו הגבוהים בפרינסטון בהיותו בן 16 והפך לפרופסור מן המניין בגיל 33. לזכותו מספר לא מבוטל של תוצאות מתמטיות מתקדמות, וה ידוע בקפדנותו המתמטית. על כן הכרזתו התקבלה בקהילייה המתמטית ברצינות ועמיתיו המתמטיקאים הסתערו על ניתוחה, על מנת לאשש אותה או להפריך אותה, כמקובל. נמצא כי גישתו כוללת "עקומים יפטיים" )עקומים שמשותם היא מסוג 2 3 ) y x ax b שהיוו גם את המפתח לפיצוחו של המשפט האחרון של פרמה. אבל

13 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי 3 למקובל בקהילייה המתמטית, מסרב המתמטיקאי היפני המבריק לקבל מנות להרצות ולהסביר את ממצאיו, שעליהם עבד כמעט בלי תף אחרים במשך כעשר שנים. "חבר המושבעים" המתמטי אשר שופט את קבילותה של כל הוכחה חדשה, יזדקק כנראה וד זמן מה כדי ללמוד את כל הפרטים הרבים לפני שההוכחה המתוקנת של מוצ'יזוקי תזכה ל"קונסנזוס" על נכונותה. המתמטיקאי דוריאן גולדפלד מאוניברסיטת קולומביה שבניו-יורק אמר בראיון שאם אכן ההוכחה נכונה, יהיה זה אחד ההישגים המרשימים של המתמטיקה במאה ה- 21. עם העלאתה של השערת ABC בשנת 1305 היה ברור שלכשתוכח ההשערה, אפשר יהיה בנקל להוכיח בעקבותיה תוצאות רבות אחרות ובמיוחד המשפט האחרון של פרמה שטרם 2 הוכח אז. המספרים הראשוניים הם ה"אטומים" של מערכת המספרים השלמים. כל מספר שלם ניתן להצגה כמכפלה של מספרים ראשוניים באופן אחד ויחיד )עד כדי סדר הגורמים(. השערת ABC מאתגרת את השכל הישר מפני שהיא קובעת קשר מפתיע בין הגורמים הראשוניים של שני מספרים לבין הגורמים הראשוניים של סכומם )!(. הוכחתה מצביעה על כך שיש תכונות עמוקות של אבני הבניין הפשוטות הללו של מערכת המספרים השלמים, שעדיין לא ירדנו לסוף הבנתן. מומלץ לצפות בסרטון: ולקר את הבלוג על המתמטיקאי הנמצא בעין הסערה: בכך הסתיים הדמיון. למרבה האכזבה לא רק שההוכחה השתרעה על פני מאות עמודים, א ששיטת ההוכחה הייתה חדשנית, קשה להבנה ונשענה על הבנת סדרה ארוכה של תוצאות שפורסמו אמנם בעבר, אבל לא משכו תשומת לב בקהילייה המתמטית. באוקטובר 2812 התברר שיש שגיאה בהוכחה. מוצ'יזוקי מיהר לפרסם באתר שלו הודאה בטעות, אבל טען שהיא איננה משבשת את ההוכחה ומאז פרסם סדרת מהדורות מתוקנות של ההוכחה שהאחרונה שבהן פורסמה במרץ u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html בניגוד המשפט האחרון של פרמה אומר שרק בעבור = 2 n קיימים שלושה מספרים שלמים חיוביים c, b, a, כך ש.a n + b n = c n באשר המעריך n ה מספר שלם חיובי. ה הועלה כהשערה על-ידי המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה בן המאה ה- 13, אבל הוכח רק בשנת 1334 על-ידי המתמטיקאי הבריטי אנדרו וויילס..2

14 18 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי הלוגיקן הגדול קורט ג ידל ) ( זיעזע את יסודות המתמטיקה כשהוכיח בשנות ה- 38 של המאה ה- 28 שטענות מתמטיות נחלקות לושה סוגים ולא ניים כפי שהאמינו עד אז כו שניתן להוכיח אותן, כו שניתן להפריך אותן וכו שלא ניתן להוכיחן ולא ניתן להפריכן. ה האחרונות הן בהכרח טענות אמת כי אי אפשר להפריך אותן. לאיזה משלושת הסוגים שייכת השערת הומים? זו ההשערה שקיימים אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם ה ההפרש המינימלי 2, כמו למשל 43 41, ועוד. שה זו עדיין לא הוכרעה. דורות של מתמטיקאים מנסים ו להוכיח אותה. איש עוד לא הוכיח לא רק את זה, א אפילו לא משהו הרבה יותר "ח" וה שיש אינסוף ראשוניים שההפרש ביניהם ה מספר טבעי n כהו. קל להראות שקיימת שורה ארוכה כרצוננו של מספרים עוקבים שכולם פריקים. הנה כך )הוכחה קונסטרוקטיבית(: בשורת המספרים הבאה יש n מספרים שלמים עוקבים: n 1! 2, n 1! 3,., החדשות האחרונות הן, שבאפריל 2813, מתמטיקאי לגמרי לא מפורסם משם ייטאנג זאנג, מרצה באוניברסיטת ניו-המפשייר בארה"ב, הוכיח שקיים n טבעי קטן מ- 58 מיליון שעבורו יש אינסוף ראשוניים שההפרש ביניהם ה לכל היותר n )ה לא הצביע על גודלו הוכחה לא קונסטרוקטיבית!(. ההוכחה עמדה בהצלחה בכל הבדיקות והיא קבילה בקהילייה המתמטית. בעקבות זאת מתחולל בחודשים האחרונים מרוץ מטורף להקטנתו של n. במהלך הקיץ האחרון n הוקטן ל- 5,414 = n. ב התבשרנו שג'יימס מיינרד, בתר-דוקטורנט מאוניברסיטת מונטריאול, שבקנדה, הצליח להקטין את הפער ל- 688 בלבד. מי יודע אולי עד שהכתבה את תראה אור יצליחו להוריד את החסם העליון ה ל- 2 = n ובכך תוכח השערת הומים. דכון שוטף: =Bounded_gaps_between_primes /-8-a-success n 1! n, n 1! n 1 וכל אחד מהם פריק )מדוע?(. הדבר היחיד שידוע בעניין הרווחים בין מספרים ראשוניים ה משפט המספרים הראשוניים הקובע שההפרש הממוצע בין מספרים ראשוניים קטנים מ- n שף ל- (n log( כאשר n שף לאינסוף.

15 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 11 ה דא י נ פלו אה תיטמתמה איה תורחת ןורתפב תויעב הבישחב,תיטמתמ תנגרמה ידי- גוחה הקיטמתמל הללכמב,םיורי תדעוימו תונבל.ןוכית ייגב תובקעב הדאינפלה תיעיברה המייקתהש,ע"שתב הללכו 2888 תודדומתמ יבחרמ ץראה םלועהו ךרענ.רקחמ רקחמה קדב ביט רשקה ידדהה עקר תוברועמה,תורחתב ןתולהנתה,תיטמתמה ןהיתודמע,תוירדגמה ןסחי,הקיטמתמל ןהיתודמע יפלכ,תורחתה ןהיתויפיצו רבדב הריירק תיטמתמ.תידיתע עדימה לבקתה ונפוהש םינולאש תועצמאב תודדומתמל.ןהירומלו רקחמה הה יכ הדאינפלה איה תוליעפ תרגמ,תירלוקירוק-ץוח תמדקמה הבישחה.תיטמתמה יאצממ רקחמה םירשפאמ ןיחבהל תונונגס :םינוש הדימל תדמולה תיאמצעה תדמולהו.תעייתסמה תונונגס ולא םיכימ סחיה :הקיטמתמל יומידה ימצעה תדמולה תיאמצעה ומכ םג הסחי,הקיטמתמל םייבויח הלאמ תדמולה.תעייתסמה הדאינפלה הנמז םג ךרד קודבל תסיפת תודדומתמה אשונב הקיטמתמ.רדגמו חותינמ ןהיתובושת הלוע יכ ןה תורובס יכ םישנל תולוכי ןניאש תויטמתמ תולפונ ולאמ.םירבג יאצממ רקחמה םיעיבצמ םיכרד תושדח תמצעהל םידמולה םסחיב,הקיטמתמל םימו סנ תובישחה תויתריציה הבישחהו תיתרגש ה םימרוגכ יונישב סחיה.םוחתל,טרפב הוותמ רקחמה םיכרד יונישל סחי תבה הקיטמתמל יומידהו ימצעה ה ירדגמה סחיב עוצקמל ןה תדמולכ ןהו.תדמלמכ יאצממ רקחמה םיכמות הרבסב תויוליעפש ןיעמ הדאינפלה תויושע רפשל תותיחנה תירדגמה םישנה סחיב םירבגל רשאב םהירושיכל םייטמתמה ןכו םצמצל םיסותימה םייליה םיפפה עוצקמה םיאטבתמהו וליפא לצא תונייטצמה.םוחתב תולימ :חתפמ ;תורחת םירעפ ;םיירדגמ- םיפיטירטס ;םיירדגמ הרשעה.תיטמתמ

16 12 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב תורחת איה הבש היצאוטיס םנשי המכ לכש,םידדומתמ דחא םהמ שרדנ עצבל ןת תולטמ ( תולטמ,)תולוקש הפוסבשו םה םיגרודמ יפל םהיגשיה יפ-( ןולימ.)Webster תויורחת תויטמתמ ןה ןהבש תויורחת תולטמה ןה םוחתמ.הקיטמתמה רולייט )Taylor, 2008( ןעוט יכ חנומה "תורחת" וניא ףקשמ קיודמב ןייפ בור תויורחתה.תויטמתמה ןתויהמ תויורחת,םינוש םירחתמ ןוכנ ןרידגהל תויורחתכ הרחתמה ל תויעבה תוירגה ןת וי ירהש.חצפל דוגינב בורל תויורחתה תויתצובקה ןהבש תוינדיחיה שי היצקארטניא םידדומתמה ל,םהיבירי תורחתב תיטמתמ הרחתמה קבאנ תויעבה תובצומה,וינפב קרו ופוסב ךילהתה תעצבתמ האוושהה יגשיה םירחתמה.םינושה תויורחת תויטמתמ תומייקתמ יבחרב םלועה,םינש תורשע תודחייתמו םינייפאמב :םיאבה 1.א :םינכתה ינכות תורחתה םניא םידיחא םייושעו לולכל יפל( גוס )תורחתה רמוח ידומיל,רדגומ רמוח יתריצי יתרגש ו תינכתמ גרוחה,םידומילה םיאשונ םימדקתמ הקיטמתמב.ההובג.ב גוס ןולאש :תולאשה תורחתה בכרומ תולאשמ תורוגס ןהבש( םה םישקבתמ רוחבל הבושתה הנוכנה מ המכ תובושת,)תועצומ /ו תולאש תוחותפ ןהבש םישקבתמ םירחתמה בותכל תובושת תובכרומה תוחכוהמ.תוקמונמ תויורחתה תויטמתמה תוכרענ בורל.בתכב.ג תייסולכ דעיה :תורחתה תומייק תויורחת.תובר ןקלח ףקיהב,ימו- תורחא ףקיהב ירוזא תשבי( קלח,)הנממ דועו תמ תובר ףקיהב ימו.ילאירוטקס.ד ליג :םירחתמה קלח לודג ןמ תויורחתה חותפ לכל,םייגה ךא בורב תויורחתה רדגומ חווט םיליגה םירחתמה :ןוגכ םיטנדוטס ראותל,ןוכית ידימלת,ןושאר ידימלת תוביטח.םייניבה.ה יפ :תורחתה קלח תויורחתהמ תודעוימ םירחתמל,םיילאודיבידניא ןקלחו םיתווצל םירחתמה.םהיניב.ו ףוגה :ןגראמה תויורחתה תונגרמ ןקלחב ידי- םידוגיא םייטמתמ,םימסרופמ תורחא תויונגראתהכ םיפוג םייכוניח,םיימוקמ ןקלחו ידי- םיפוג םירחא תורטמל.םוסרפ.ז תונכהה :תורחתל ןנשי תויורחת ןהש הדאיפמילכ לכל :רבד םירחתמה םירחבנ הדיפקב ךותמ הייסולכ,תיביסולקסקא םהו םידמול םיסרוק םידעוימה םרישכהל,תורחתל םיקזחומו תונחמב םינומיא ךומסב.תורחתל הצקב ינשה ןנשי תויורחת תוחותפש תויממע,לוכל ןניאו תושרוד הנכה.תמדקומ.ח טביהה :ירדגמה ןבור לודגה תויורחתה תויטמתמה תוחותפ םירבגל םישנלו.דחאכ ךותמ המישר הכורא תויורחת תויטמתמ תוימו- תחוודמה,הידפיקיוב קר תחא הנה תורחת.1 :המגודל ר.

17 האולפניאדה המתמטית: היבטים תוכניים, ערכיים ומגדריים 13 המיועדת לנשים בלבד:.)CGMO( China Girls Math Olympiad אף כי רוב התחרויות המתמטיות אינן מבחינות בין המגדרים, בפועל אחוז הבנות המשתתפות נמוך באופן מובהק מאחוז המשתתפים הבנים. 2 בספרות המקצועית נדונו מהיבטים בכלל, ובתחום המתמטיקה בפרט. שונים יתרונותיהן וחסרונותיהן תחרויות של במערכת החינוך בבנו לדון בתחרויות לימודיות, יש להבחין בין למידה שיתופית ולמידה תחרותית. שני הסוגים מרים למידה שיש בה תלות בין המעורבים. תלות זו שונה בשני המקרים, בהם למטרה הסופית: בלמידה שיתופית הצלחת היחיד תלויה ישירות בהצלחת העמיתים, ילו בלמידה תחרותית מטרת היחיד מנוגדת למטרות יתר חברי הקבוצה, והצלחתו נמדדת בהשות הישגיו לו של עמיתיו.)Pepitone, 1985( לאור זאת השווה אדיגר )2001 )Ediger, בין למידה שיתופית ולמידה תחרותית והצביע על כך כי אמנם הלמידה השיתופית מדגישה את הפן הדמוקרטי, אולם העדפת השיתוף על פני התחרות גורמת לירידה במוטיבציה. כך קרה שתלמידי ארה"ב, למשל, מדשדשים מאחור, אחרי תלמידי גרמניה ויפן. אדיגר מציע, לפיכך, ודד את היוזמה בכיתה, ומספק הנחיות ידוד התחרות הבריאה, שעשויה לב לידי ביטוי הן תוך תהליך הלמידה והן כמיזם נלווה. גוינגויושי )2002 )Gyöngyösi, מתמקדת בתחרויות מתמטיות, ומונה שורה של יתרונות כדלהלן: התעניינותם למידת מגרה גורם ומהווה הסוגים, מכל לומדים מושכת טבעה מעצם תחרות א. במתמטיקה. לרוב, השות בתחרות באות מתוך העולם הממשי, שיו הלומד יכול להתחבר, ולא מתוך ב. סביבה מתמטית טהורה. השות בתחרות בוחנות פנים לא שגרתיות של המתמטיקה ובכך מעוררות עניין. ג. תחרות מציגה את המתמטיקה באור חיובי. ד. תחרות מספקת למורים משאבים באיכות גבוהה. ה. תחרות ממלאת חסר בתכנית הלימודים, באשר היא מספקת דמנות ללומדים מוכשרים להכיר ו. חלקים יפים נוספים של המתמטיקה. הניסיון שהמתחרה רוכש מהשתתפותו בתחרות עשוי לסייע בהכנתו לקראת לימודים גבוהים. ז. הגיוון הרב של הבעיות המוצגות בפני המתחרים והדרכים השונות שבהן ניתן לפתור אותן ח. מעידים על עושרה של המתמטיקה. 2.ראו לדוגמה טירי )2000 )Tirri, או כתבתו של ולמר )2812(, וכן רשימת וכים באולימפיאדה ע"ש גיליס במכון ויצמן תשע"א

18 14 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב ףסונב תונורתיל הלא תורחתה םידמולל דמעמלו,עוצקמה תנייצמ ישויוגניוג )Gyöngyösi, 2002( תונורתי :םיוולנ.א םצע שגפמה םירחתמ תומוקממ םינוש רפס-יתבמו הווהמ םרוג הרפמ חותיפל.תוישיאה.ב ןוגרא תורחתה הכלהמ לכו היקלח הווהמ םרוג בושח םמודיקל יעוצקמה יגוגדפהו.םיברועמה.ג תורחתה הלוכי תווהל ילכ יזכרמ תרשכהב ידבוע,הארוה תומלתשהו םירומ ןמ.הדשה דצל ןהיתונורתי,תויורחת ישויוגניוג )Gyöngyösi, 2002( הנומ הרוש םג :תונורסח.א תורחתה הליטמ ץחל ףסונ מו.םידמולה.ב תורחתה תדגונ ןורקיע.ןויוושה.ג תויעבה תוגצומה ינפל םירחתמה תוסחייתמ ללכ-ךרדב םיילוש םיאשונל םישקו.הקיטמתמה ישויוגניוג )Gyöngyösi, 2002( ןיאש תנעוט שממ תונורסחב,ולא היתונעטו תוצמתב ןה יכ תויורחתה םויה תוחותפ לכל,ןיינועמה ןניא,תופכנ ןניאו תווהמ ביכרמ ןויצב ירפס-תיבה.דימלתה דבלמ ז תובורמ םויה תויורחתה תוירלופופה תונופה םג דימלתל.עצוממה יריט )Tirri, 2000( ךרע רקס דנלניפב תופתתשהב םידימלת םיננוחמ.םהירוהו ופתתשהש,םידימלתה תויורחתב םוחתב הקיטמתמה םיעדמהו םינשב ויה םבור.םינב ךותמ ויאצממ הלוע יכ םירחתמה ושממ םנורשיכ יטמתמה ידי- תריחב הריירק םיעדמב םבורו ויהנ םירקוח הימדקאב םיסדנהמ םימוחתב םיינכט.םינוש םירחתמה וחילצה דמ םהידומילב,םימדקתמה םקלחו ףא ומסרפ םירפס.םירמאמו קלח לודג םירחתמהמ וכפה םידמולל יתלב םייולת וסחייש םתחלצה תימדקאה הרקיעב םתלוכיל ץמאמלו עקשוהש.םדי- ז ושיגדה םירקחנה התובישח םתופתתשה רבעב תורחתב ריבגהש םרוגכ םנוחטיב,ימצעה ו םתריחב הריירקב.תיעדמה פושיב סרטלווו )Bishop & Walters, 2007( םיחוודמ רקחמ בקעמ רחא ידימלת ןוכית,םיננוחמ וליגש תוניינעתה םיעדמב ךרד תופתתשה תורחתב,תיצרא ןמזמ םהידומיל ןוכיתב דע םתסינכל.הללכמל אצממ יזכרמ רקס הארמ יכ תוליעפה ץוחמ תינכתל םידומילה תימשרה ליבקמבו,הל הווהמ םרוג יתועמשמ תוביוחמל תכורא חווט םוחתל םיעדמה רשאמ תוליעפה תירפס-תיבה,תיתרגשה הווהמו םג ילכ ליעי סויגל םיטנדוטס ימוחתל תעדה.םייעדמה ןיינעמ ןייצל יכ ברה המ הבלוו )1336( רבוס יכ תורחת המצעכ הצירממ דומילה תעשב,השעמ ךא םיתעל םיכוזה תויורחתב םיחנ ירז,הנפדה גשיההו ינמזה רתונ :םותי

19 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 15 ביכרמ בושח תויורחת ללכב תויורחתו תויטמתמ,טרפב אוה תודמע.םירחתמה רשקהב הרקח ףולקא )Eklöf, 2007( םהיתודמע םיפתתשמה ןחבמב ימו-ה TIMSS תדידמל םיגשיהה הקיטמתמב.םיעדמבו ןחבמ TIMSS-ה אוה םנמ ןחבמ" ב ןוכיס "ךומנ,)low-stake( רמולכ תוליעפ הנניאש הכורכ ןוכיסב דצמ,ףתתשמה רחאמ האצותהו ןחבמה הניא העיפשמ תישיא ןחבנה,וירומ ךא ז ןתינ רוזגל היאצמממ ףולקא בצמל.תורחת ףולקא הרקח םירשק ינותנ עקרה ופסאנש ינולאשב TIMSS )IEA, 2007( ל תודמע םינחבנה השוב :םימוחת.א היצביטומה ףתתשהל.ןחבמב.ב הסיפתה תימצעה סחיב.הקיטמתמל.ג תכרעה סחיה.הקיטמתמל אצממ יזכרמ רקחמה היה יכ תשו םינתשמה וללה םיריבסמ 31% ןמ תונושה םיגשיהה,הקיטמתמב רשאכ המורתה תיתועמשמה ב תונושל תעבונ הסיפתהמ תימצעה סחיב,הקיטמתמל וליאו םתמורת רתי.תילוש םינתשמה ןפב יללכ ןיוצי יכ םימייק המכ םילכ תכרעהל םהיתודמע םידמול יפלכ.הקיטמתמה,המגודל איפט השרמו (Tapia & Marsh II, 2004) ועיצה ילכ ב העברא :םימרוג ןוחטיבה ימצעה,דמולה ךרעה אוהש סחיימ םוחתל,הקיטמתמה הדהאה ו םוחתל היצביטומהו ו תדימלל.הקיטמתמ םירקוח ולא ונייצ ילכ בכ תונמיהמ תימינפ.ההובג תוכייתשה תירדגמ התעפשהו דוקפת יטמתמ ללכב ו תופתתשה תויורחתב תויטמתמ,טרפב הנודנ תרקחנו.םינש תורשע םירקחמה םידיעמ רעפ יתועמשמ.םירדגמה השחמה רעפל ירדגמ-ה,צמנ,מל ורקחמב ןוסרדנא (Anderson, 1989( ןעוטה יכ םינחבמ,םינוש תולאש םיללוכה תוחותפ ושענש,תורוגסו ידכ קודבל םילדבה תולוכיב תויטנבו תויטמתמה םיטנדוטס,תויטנדוטסל רה םירעפ םילטובמ תבוטל.םיטנדוטסה ךכב ששאמ ןוסרדנא םיאצממ םימדוק םיקדבמ ושענש תויסולכב ליג תומרבו.תונוש רעפ יתועמשמ םייק םג רועישב תופתתשהה.תויורחתב יריט )Tirri, 2000( ךרע רקחמ בקעמ ךרו םינשב רחא םיפתתשמ דנלניפמ תודאיפמילב תויטמתמ.תויעדמו ןותנ םיהדמ אוה יכ ברקמ 150,םירחתמה קר הנומש םהמ ויה םישנ.)5%-כ( ךשמהב התו,המגמ םיגיצמ,גנפ הנרוו לבמק )Feng, Cambell & Verna, 2002( תנומת בצמ יא תינויווש,םירדגמה םיסנמו תוקחתהל ירחא תוביס תויתביבס תומרוגה.ולא םירעפל

20 16 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי שהי, פיטינסקי מבאדי )1999 Ambady, )Shih, Pittinsky & מציעים הסבר פסיכולוגי לפערים ו: הם מציגים תוצאות מחקר שערכו בקרב אוכלוסייה שמנתה קבוצות אחדות, המאופיינות באמצעות סטריאוטיפים שונים )חיוביים ושליליים(. המחקר התבסס על הסטריאוטיפים, שלאנשים ממוצא אסייתי ישנה רמת חשיבה כמותית גבוהה מהממוצע, וומת זאת לנשים יש רמת חשיבה כמותית נמוכה מהממוצע. החוקרים בדקו קבוצת נשים אסייתיות והתברר, שכאשר הנחקרות ידעו שהן מוגדרות כאסייתיות, תפקדו טוב יותר מכפי שתפקדו כאשר ציינו בפניהן שהן משויכות ל"קבוצת הנשים". בדומה, טוענים אמבאדי ועמיתיה )2004 al., (Ambady et כי תחת איום סטריאוטיפי, נוטים אנשים לתפקד פחות טוב ממה שהם מסוגלים לתפקד כאשר הם חופשיים מאיום, כך תוצאות המבדקים אצל נשים ששויכו תחילה ל"קבוצת נשים" היו נמוכות מתוצאות מבדקים אינדיבידויים. מתוך ניתוח-על של מחקרים רבים לאורך שנים רבות בתחום הקשר בין מגדר והישגים במתמטיקה, עולים שלושה ממצאים עיקריים: א. ההישגים במתמטיקה של בנים גבוהים בדרך-כלל מה של בנות, ופערים ו גדלים עם העלייה בכיתת הלימוד וברמת החומר הנלמד. ב. הבדלים בין המגדרים קיימים גם בהיבטים נוספים, כגון בעמדות ובתחום הריגושי. ג. סטריאוטיפים וגורמים תרבותיים/חברתיים עשויים להסביר את דפוס ההבדלים בהישגים במתמטיקה בין גברים לנשים. בהמשך לממצא הסטריאוטיפי, מראים מרץ ועמיתיו במחקרם )2008 al, )Mertz et כי ההבדלים בהישגים במתמטיקה בין שני המינים הם תלויי מגדר )gender( )כלומר נובעים מרקע תרבותי( ולא תלויי מין )sex( )כלומר הבדלים שמקורם גנטי או ביולוגי(. הבדלים בין מגדרים מוזכרים ספציפית גם במחקרים על תחרויות מתמטיות. ליסון )1995 )Leeson, מדווח על תפקודם של תלמידי כיתה ו' בתחרויות אוסטרליות רבות-משתתפים, שהתקיימו בשנים , ושבהן בולטת הצלחתם הממוצעת של הבנים ומת הצלחתן של הבנות. לדר ( Leder, 1980( טוענת שהפער הקיים בין בנים לבנות בהצלחה בתחרויות, נובע בחלקו מכך שאצל בנות חזק יותר החשש מפני כישלון, והן מושפעות יותר מלחץ חברתי. במאמר נוסף של לדר וחוב' ( Leder, Taylor, 2006 )Forgasz & הצביעו החוקרים על כך שבנים מוכנים לקחת סיכונים במידה רבה יותר מאשר בנות, וכתוצאה מכך גדלים סיכוייהם להצליח במבחנים רבי ברירה שבהם נקנסים על תשובות שגויות. פרנזל, פיקרון וגץ )2007 Goetz, )Frenzel, Pekrun & חקרו את ההבדלים בין תחושות ההישגיות במתמטיקה בין שני המגדרים. הנחת היסוד שלהם התבססה על מחקרים קודמים בדבר הבדלים בדימוי העצמי בתחום. על אף שלבנים ולבנות בקבוצת המחקר היו הישגים דומים במתמטיקה, ד ווחו הבנות ומת הבנים, על הנאה פחותה מצד אחד, וחרדה מוגברת מצד שני. בדומה למחקר זה, מדווחות הרברט וסטיפק )2005 Stipek, )Herbert & במחקר בהערכת היכולות המתמטיות בין המגדרים. פערים ו מתגלים כבר בכיתות קודם על פערים היסוד הנמוכות.

21 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 15 םרקחמב וקדבנ םידימלת תודימלתו ינב.18 ףא יפ חוויד םירומה יגשיה תונבה התב תבכש ליג ולפנ ולאמ,םינבה וכירעה םג תונבה םגו ןהיתולוכיש,ןהירוה תויטמתמה תוכומנ ולאמ.םינבה םירקחמ הפוקתהמ הנורחאה םיקדוב תורשפאה דומי תותיכב תודרפנ םינבל תונבלו יושע תיחפהל יומידה ימצעה ךומנה תונבה סחיב ןהיגשיהל.הקיטמתמב ןבילוס )Sullivan, 2008( הנחב יומידה ימצעה יטמתמה ברקב תצובק םירגובמ ידילי,1350 העיגהו ודמ תונבהש הנקסמל תותיכב תודרפנ ולדג תויהל תוב יומיד ימצע יטמתמ הובג. גוחב הקיטמתמל הללכמב םיורי םיופ המכ םתרטמש םיטקיורפ רפשל,המרה עדיה הבישחהו תיטמתמה תכרעמב.ךוניחה רשקהב יר טטצל וירבד :במוקטיוו דוגינב" הנומ,תחוורה תורוקמה יתלבה םילדנ הקיטמתמה םה,תויתריצי ןוימד הכרעהו,הייפויל ו תויתותה "ה תויטנוולרהו.)Whitcombe, 1988( דחא םיטקיורפמ הלא אוה הדאינפלה" "תיטמתמה אשונ רקחמ. הדאינפלה תיטמתמה איה תורחת ןורתפב תויעב הבישחב תיטמתמ תדעוימה תונבל םייגב תורחתה המייקתה דע הכ עברא םימעפ הפקיהו ךלוה.לדגו תורחתב תיעיברה המייקתהש( תנשב )ע"שת ופתתשה בורק 2888-ל תודימלת 188-מ תונפל רפס-יתבו םיינוכית תונבל לכמ יבחר םלועה תונבו תורישב.ימו 3 תורחתה.םיב השו הללכ םיינשה םינושארה ומייקתה רפסה-יתבב בו ועיגהש,רמגה וילא 65-כ תורחתמ 28( ןכותמ,)ל"וחמ םייקתה הללכמב.םיורי יפ תולאשה היה םשש כ שגד הבישחב,תיטמתמ ךא שרד עדי רבצנ.םדקתמ,רומאכ תודאיפמיל תויטמתמ תוטעמ תומייקתמ ץראב יבחרבו.םלועה הדוחיי הדאינפלה תיטמתמה אוה,ךכב איהש הנופ הייסולכו טעמכש הניא תפתתשמ תויורחתב ןיעמ.ולא תודאיפמיל תויטמתמ,ןה,רומאכ בורל תויורחת,תויטסיטילא תודעוימה םידמולל םינייטצמ,ב זוחאו תונבה ברקמ םיפתתשמה ךומנ.דמ תמועל,ז הדאינפלה תיטמתמה תדעוימ רוביצל בחרנ,תונב קר תונייטצמה.ב ןפב תרצוי הדאינפלה טקפא דודיע תרבגהו הבישחה העקשההו לצא רוביצ תונב תונפלה ץראב.םלועבו הדאינפלו םידעי םוחתב,םינכתה םוחתב םיכרעה םוחתבו.ירדגמה םידעיה םוחתב םינכתה :םה דודיע הבישחה תיתריציה ללגב יפה דחוימה,תולאשה תורחתה לכ היב היושע דדועל לצא תודדומתמה הבישח.תיתריצי.3,רקחמה םויס,ב"עשת ל"הנש ךלהמב 4888-כ תופתתשהב תישימחה הדאינפלה המייקתה,תודדומתמ שמחמ.תושבי

22 10 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב תשגדה הבישחה תיגולה ינפ שומיש תחסונב תולאשה תורחתב תופח טעמכ תחסונמ,תויטמתמ תונחוב הבישחה,תיגולה תוססובמו ןויגה ו קר עדי יטמתמ רבצנש ךלהמב.ןוכיתה הדבוע וז היושע יוניש ללוחל הסיפתב תדדומתמה יפלכ עוצקמ.הקיטמתמה םידעיה םוחתב םיכרעה :םה תריבש םימוסחמ םודיקו הבישחה תיטמתמה הקיטמתמ איה םוחת גצומש ללכ-ךרדב תמיא"כ "םידימלתה ר( מל.)Biller, 1996 םיסותימה םינושה םיפפש עוצקמ, םיענומ םיתעל דימלתהמ תרל יפויה הינומרההו םידחיימה.םוחתה הדאינפלה הדעונ,ביהאהל ברקל גיצהלו הקיטמתמ ךרדב.תרחא תכיפה םוחת הקיטמתמה שיגנל יממעו תודאיפמיל תויטמתמ ןה ללכ-ךרדב תויורחת,תויטסיטילא ןהבש ףתתשמ ןוזוחאה הובגה םינייטצמ.הקיטמתמב הדאינפלה,תיטמתמה היונבה הרוצב,תגרודמ תנתונ תונמדזה תודהו הקיטמתמ תובר ףתתשהל.הב שוטשט םילדבהה תדימל הבוח האנהל תשדקה תועש יאנפה תריתפל תולאש תויתריצי,תודיחו הנכהכ,הדאינפלו תבמ הדימל האנה תשטשטמו הדרפהה תמייקה ינש.םימוחתה דעיה םוחתב ירדגמה תריבש היה םוסחמה :ירדגמה,הקיטמתמה דחוימבו הקיטמתמה,ההובגה תשפתנ םוחתכ דעוימש רקיעב,םירבגל תוטעומו תונבה תופתתשמה תודאיפמילב תויטמתמ יבחרב.םלועה הדאינפלה תיטמתמה הדעונ תתל תונמדזה התנ תבל ןיגפהל היתולוכי חיכוהלו המצעל הקיטמתמש היושע תויהל היצפ םג.הליבשב הדאינפלה היושע דדועל תבה ןימאהל החוכב רוחבלו םוחתב היצפכ.תיעוצקמ תרטמ רקחמה התייה קודבל תולהנתהה תיטמתמה תדדומתמה,הדאינפלב תעפשה היישעה הדאינפלב תגשה םידעיה םוחתב,ינכותה יכרעה,ירדגמהו ןכו ןוחבל םירשקה םיידדהה ינתשמ.רקחמה ךלהמב רקחמה ונודנ תולאשה :תבה.א םאה םייק רשק ןונגס הדימלה הדימלתה ל הסחי םוחתל?הקיטמתמה.ב דציכ עיפשמ סחיה םוחתל ןונגס הדימלה?תדמולה.ג םאה םייק רשק תבהא עוצקמ הקיטמתמה ל החלצה?וב.ד וזיאב הדימ תספתנ הדאינפלה יניעב תודדומתמה ןהירומו תוליעפכ?תיטסיטילא ומכ ןכ ונחבנ תורעשהה :תבה.א תמרות הדאינפלה ךוניחל יטמתמה,ץראב תרבגהלו ןיינעה םוחתב ברקב.תודמולה.ב תופתתשהה הדאינפלב תמרות יונישל הסיפתה תימצעה תירדגמהו תונבה יבגל ןהיתולוכי ייוכיסו ןה החלצהה.הקיטמתמב

23 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 13.ג הדאינפלה לממ רסח תינכתב.םידומילה רקחמה ססבתמ רקס ךרענש ברקב קלח תייסולכמ םיברועמה :הדאינפלב תודדומתמה וליפעהש בל ינשה הדאינפלה םירומהו ןה.הקיטמתמל רקסה היה ןושאר וגוסמ טמ ינגראמ.טקיורפה ךרעמ רקחמה אוה ךרעמ ימאתמ אוהו ורקיעב,יתומכ ססבתמו ופסאנש םינותנ.םינולאש תועצמאב תייסולכ רקחמה הבכרוה יתשמ :תוצובק.א תצובק וליפעהש,תודדומתמה בל ינשה.תורחתה.ב תצובק םירומה םהבש רפסה-יתב תודמול תודדומתמ.ולא םגדמ רקחמה הצובקה הנושארה אוה תצובק םיבישמה ינולאשל רקחמה וחנש הייסולכו.וז לדוג םגדמה ופב היה 32,תורחתמ 38% הוויהו ברקמ תייסולכ רקחמה התנמש( 318.)תופתתשמ םגדמ רקחמה הצובקה היינשה אוה תצובק םירומה רפסה-יתבמ וש בל ינשה וריזחהשו.ןולאשה הצובק וז התנמ 13.םירומ ללכב ינתשמ רקחמה םיאצמנ ינותנ עקר םידחא,םירקחנה יפכ ולבקתהש תועצמאב ינולאש.רקחמה םינתשמ הלא ושמיש רקיעב ריתל תצובק,רקחמה ינתשמכו רזע תקולחל תצובק רקחמה תוירוגטקל תוצובק-תתל םשל תניחב תורעשה רקחמה.ויתולאשו ןולאש תועצמאב רקחמה ופסאנ םינותנ םינתשמ םייטנוולר תולאשל רקחמה,ויתורעשהו :ןלהלדכ םינתשמ יתלב םייולת.א ינתשמ עקר תודדומתמה תורחתב ו םירומה הקיטמתמל תלכשה(,םירוהה ילגרה,יאנפ רוזבא תיבה לצא,תודדומתמה קתו,הארוהב דיקפת,ליג דועו לצא.)םירומה.ב םינתשמ םירושקה תולהנתה"ל "תיטמתמה תודדומתמה ילב( רשק.)תורחתל םינתשמ םייולת.א םינתשמ םירושקה תודמעב תוד תורחתה,מל( תדימ תגשה םידעיה וגצוהש אובמב.)דועו.ב םינתשמ םירושקה תודמעב תויללכ תוד םוחת,הקיטמתמה רדגמ הקיטמתמו הדימלו החלצהו םידומילב.ללכב.ג םינתשמ םירושקה תונווכב דיתעל תודדומתמה הקיזב םוחתל.הקיטמתמה םיחנומב םייביטרפ תומיכ םינתשמה ל"נה התשענ ידי- חותינ יתומכ רפסמ תובושתה תמר תובושתה.םינולאשב

24 ג- 28 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי על מנת להשיב על שות המחקר ולבחון את השערותיו, נבנו על-ידי החוקרים שני שונים שנשלחו בדר אוכלוסיות המחקר ומיועדים למילוי בעילום-שם. א. שון למתמודדות ב. שון למורי המתמודדות כאמור, השון לא כלל פרטים מזהים של המתמודדת, ף לא את הישגיה בתחרות. ה היה מורכב מארבעה חלקים, כדלהלן: א. א ת והמתמטיקה החלק הראשון של השון כלל שות שמתייחסות למקצועות הלימוד המועדפים על המתמודדת ומקצועות הלימוד שבהם היא מצליחה, הרגלי הלמידה והפנאי שלה ויחסה לתחום המתמטיקה. חלק זה של השון התבסס בחלקו על שון TIMSS לתלמיד שנלווה למבחני TIMSS 2003 וכן על שון של דופקן, לווסקי ופדוה (2005 Padwa,.(Doepken, Lawsky, ב. האולפניאדה והשפעתה בחלק זה התבקשה המתמודדת לדרג את מידת הסכמתה ורת היגדים הקשורים ליתרונות של האולפניאדה ולחסרונותיה, לאופי השות בתחרות ולמבנ ה. כמו כן הייתה התייחסות להשפעתה של האולפניאדה על עתיד המתמודדת ועל יחסה לתחום המתמטיקה. חלק זה של השון נבנה בחלקו על בסיס רעיונותיה של גוינגויושי (2002.(Gyöngyösi, ג. מתמטיקה ומגדר חלק זה כלל עשרה היגדים מתוך שון כללי של דופקן ועמיתותיה )2005 al, )Doepken et שהתייחסו לתפיסה ולדימוי העצמי-המגדרי של המתמודדת. ד. הבית השות בחלק זה התייחסו להשכלת ההורים, לאבזור הטכנולוגי של הבית וכדומה. שות ו מבוססות ברובן על שון TIMSS לתלמיד שנלווה למבחני TIMSS 2003 )בתוך.)IEA, 2007 נבדקה המהימנות הפנימית )על-ידי חישוב הפא של קרונבך( של כל אחד משלושת החלקים א' '. מקדמי המהימנות של שלושתם היו בטווח 8.52 עד עקיבותו הפנימית של הסולם כולו הייתה.α k =.77 השון לקבוצה זו כלל את החלקים הבאים: נתוני רקע של המורה א. האולפניאדה והשפעתה ב. מתמטיקה ומגדר ג.

25 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 21.ד ןויסינ רוהב הקיטמתמ.ה הלכשהה תיטמתמה הרומה ותוחתפתהו תיעוצקמה שי ןייצל יכ םיקלחה םיעגונה הדאינפלו התעפשהו הקיטמתמלו רדגמו ויה טעמכ םי ינשב :םינולאשה תודדומתמה ו,םירומה הרשפאש הדבוע האוושה םינתשמב ולא יתש.תוצובקה ינש םינולאשה וללכ תולאש ןהבש ושקבתנ םירקחנה ןמסל וזיאב הדימ םידגיה םימיוסמ םיראתמ הנוכנ.םהיתודמע תובושתה ונמוס םלוסב ב 5 :תוגרד ללכב ; הדימב ;הכומנ הדימב ;תינוניב הדימב ;הבר הדימב הבר.דמ ינולאש רקחמה וחנ יזכרל הקיטמתמה לכבש רפסה-יתב םהמ וליפעה תודדומתמ בל ינשה.הדאינפלה תייסולכ רקחמה הללכ 318 תודדומתמ ןהירומו.הקיטמתמל ןולאשה תדדומתמל גצוה הינפל תליחת בה ינשה,תורחתה איהו השקבתה ךא( )הצל מל ןולאשה ינפל איהש תשגינ ןורתפל בה.ינשה םינולאשה םיוממה ופסאנ ידי-,םיזכרה ורזחוהו םהידי- תופטעמב ופרוצש ינולאשל בה.ינשה ולבקתנ הרזח 32 םינולאש.םימ רועיש תונעיהה היה אופא,38% רועיש תונעיה לבוקמ םירקסב גוסמ קינרוה(,ריאמו ;1303 Hansen & Hurwitz,.)1946; Scott, 1961 שי ןייצל תונעיההש ןולאשל התייה היולת זכרב ידומיל הקיטמתמה -תיב רפס ו התשענ לוקיש יפ- התעד.תדדומתמה ןולאשה הרומל גצוה וינפל ידי-,ת/זכרה ףסאנ ה/ודי- רח,ויולימ םגו אוה רזחוה יכרועל.רקחמה ךסב לוכה ורזחוה םינולאש 13.הלאכ עודי המכ םירומ ובישה.ןולאשה ןלהל סחייתנ תצובקל םיבישמה לאכ םגדמ,רקחמה ףא ןיאש ידיב םירקוחה םילכה קודבל וזיאב הדימ אוה הווהמ םגדמ גציימ הייסולכה.הלוכ תורמל ןולאשהש תדדומתמל היה ימינונא,ןיטולחל ל תשקב ינותנ עקר,ללכ עודי יכ תייסולכ רקחמה הללכ תורחתמ תותיכמ 'ט -י ב" תשקמ הבחר תונפל רפס-יתבו םיינוכית תונבל לכב יבחר ץראה הנומש תיירקמ( ןופצב תליא דעו.)םורדב רבעמה בל ינשה הדאינפלה עבקנ הרוצב,תגרודמ רשאכ תורחתמ תותיכמ 'ט 'י-ו וליפעה בל ינשה םא ובישה הנוכנ תוחפל 13 ךותמ 28 תולאשה תורוגסה וגצוהש ןהינפב בב,ןושארה וליאו תורחתמ תותיכמ ב"י-א"י וליפעה בל ינשה קר םא ובישה הנוכנ תולאש 15. ןונגנמ היה רומא ןז גוציי תותיכה תונושה בב,ינשה ןכתייו עיפשהש םג הנבמ.םגדמה

26 22 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב רשאב םגדמל,םירומה םגדמה,ללכ,רומאכ 13,םירקחנ םכותמ 15 תורומ ינשו םירומ םליגש עצוממה אוה הנש 41 ת"ס(.)11.5 לכ םירומה םנה יב ראות,ימדקא 11 םכותמ יב ראות,ןושאר רתיהו יב ראות.ינש 11 םכותמ ירגוב,הטיסרבינ םירחאהו ו( אקווד )המאתהב םה ירגוב תוללכמ הנילפיצסידב תחא. ימוחת םיגלופמ םה תוחמתהה ראותמכ הלבטב.1 םוחת תוחמתה תוחיכש הקיטמתמ 15 םיבשחמ 5 םיעדמ 4 ץועיי 1 הקיטסיטטס 2 ך"נת 2 הסדנה 1 השימח רשע ברקמ םירומה םגדמב וחוויד יכ תדועת םדיב.הארוה בור םירקחנה םגדמב םירומה םה יב :םידיקפת 18 םכותמ םה יזכר עוצקמ.םרפס-תיבב הדבוע וז העיבצמ ךכ םיזכרהש וסחייתה דבוכב שאר,ןולאשל,ךא,רחא דצמ וחרט וציפהל רתי.םירומה יל ב,ךכ קתווה רוהב הקיטמתמה םגדמ םירומה גלפתמ ראותמכ הלבטב,2 ונייהד םגדמ םירומ יב קתו.םינש-בר ןיוצי םתיצחמש ועיבה ןוצר קוסעל חותיפב םירמוח.רקחמב קתו םינשב תוחיכש

27 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 23 קלחה ןושארה ןולאשה,תדדומתמל ותרתוכש ת א","הקיטמתמהו,בכרוה,רומאכ תולאשמ תוסחייתמה תועוצקמל דומילה םיפדעומה,תדדומתמה תועוצקמלו דומילה איהש החילצמ.םהב,יופצכ תצובקב םגדמ,וז עוצקמה בוהאה חיכשה היה הקיטמתמ תוחיכש.35.1% ךותמ תועוצקמה םיבוהאה,ב תועוצקמ תודהיה ויה םוקמב ינשה,)26.3%( םוקמבו ישיה ונמוס יעדמ עבטה הלבט(.)3 לכ דחא רתימ תועוצקמה רחבנ ידי- םידדוב.דבלב,םל רשאכ ולאשנ תודדומתמה והמ עוצקמה ובש ןה תוחילצמ 54%,ב ןכותמ ונמיס,הקיטמתמ 15% וליאו דבלב ונמיס תועוצקמ תודהיה ובש םוחתכ ןה תוחילצמ ב הלבט(.)4 עוצקמה םיזוחא.א ך"נת תבשחמו לארשי 26.3.ב הקיטמתמ םיבשחמו 35.1.ג יעדמ עבטה,הימיכ(,היגולויב )הקיזיפ 13.4.ד תורפס 4.5.ה תילגנא 9.0.ו,הירוטסיה תוחרזא י"או 5.5.ז טרופס 2.2.ח תיברע 1.1 עוצקמה םיזוחא.א ך"נת תבשחמו לארשי 17.1.ב הקיטמתמ םיבשחמו 54.8.ג יעדמ עבטה,הימיכ(,היגולויב )הקיזיפ 12.5.ד תורפס 4.6.ה תילגנא 6.9.ו,הירוטסיה תוחרזא י"או 4.6 וושה םינתשמה עוצקמה" ובש ת א יכה "החילצמ עוצקמה"ו בוהאה "ב הארמ יכ רועיש תוחילצמה ב הקיטמתמב אוה יפ 1.5 רועישמ עוצקמש ולא אוה בוהאה ןהי,ב תמועלו

28 24 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב רועיש,ז תונייצמה ידומיל תודהיה עוצקמכ בוהאה ב אוה יפ 1.5 רועישמ ש ונייצש ולא ובש עוצקמה ןה תוחילצמ.ב ךשמהב ןולאשה ושקבתנ תודדומתמה גרדל תדימ המכסהה ןה 14 םידגיה אשונב ןסחי.הקיטמתמל חותינ םימרוגה תובוגתה השענ תטישב varimax-ה היצטור,תילנוגותר ההו םמויק העברא םימרוג םתועמשמש,םיישאר,החתונ תטרופמו :ןלהל.א סחיה ישיאה תדדומתמה.הקיטמתמל.ב הסיפתה תימצעה תדדומתמה תדמולכ.הקיטמתמ.ג תותה תישעמה ידומילמ.הקיטמתמה.ד תומגיטס םוחתב.הקיטמתמה םיינש םידגיההמ ןולאשב וללכנ ב הניעט.הכומנ הלבטב 5 םיגצומ תוניעטה םיעצוממהו 12 םידגיהה םירתונה תעבראב םימרוגה םיישארה.ל"נה םרוגה דגיהה הניעט עצוממ סחיה ישיאה הקיטמתמל ףיכ דומלל הקיטמתמ םמעשמ דומלל הקיטמתמ ינא תבה הקיטמתמ יתייה הצור ביחרהל ידומל הקיטמתמה רבעמ תינכתל תדמלנה רפסה-תיבב הסיפתה תימצעה תדמולכ הקיטמתמ איה דצה י קזחה ינא תטלוק הקיטמתמ תוריהמב ללכ-ךרדב ינא החילצמ הקיטמתמב תותה תישעמה ידומילמ הקיטמתמה בושח יל חילצהל הקיטמתמב לבקש ידכ דיתעב םידומילל םיהובג יפל יתריחב בושח יל חילצהל הקיטמתמב לבקש ידכ דיתעב םוקמל הדובע ינוצרכ הקיטמתמה היושע עייסל יל ייחב םויה םוי בושח דומלל הקיטמתמ ידכ הל םיאשונ םירחא רפסה-תיבב תומגיטס םוחתב הקיטמתמה הקיטמתמ אוה עוצקמ םיעבורמל

29 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 25 תוגלפתה תובוגתה הלאשל המכ",ןמז,עצוממב השידקמ םויב תנכהל ירועיש תיב "?הקיטמתמב תגצומ רויאב.1 גצומכ רויאב,1 הלוע יכ 48%-כ ברקמ תורקחנה תושידקמ תוחפ העש עברמ םויל ירועיש תנכהל תיב.הקיטמתמב םאתמה יראינילה הנתשמ ל םרוגה ינשה ןולאשב סחיה עוצקמל הקיטמתמה תסיפת" ימצעה,"דמולכ הארמ ומויק םאתמ ילי,)r=-0.375, p-value<0.01( רמולכ לככ תרקחנהש תב הסיפת תימצע ההובג,תדמולכ ךכ איה השידקמ תוחפ ןמז ירועישל.תיבה יפכ,הארנה תינכת םידומילה הקיטמתמב הביטחב הנויה הניא הווהמ רג םלוה תודימלתל )םידימלתלו( יב הסיפת תימצע ההובג.דמולכ ופ אצוי מ אוה תשדקה-יא ןמז יתועמשמ תולטמל,םוחתב העיגפו ילגרהב הדימלה םידימלתה םיינורשיכה.ב רח הלאשה תיללכה תנכה ירועיש תיבה ושקבתנ תורקחנה ןייפ ןפ ןתודדומתה תויעב תויטמתמ תושק,חוציפל ןהיתובוגתו תוטרופמ הלבטב :6 דגיהה תוחיכש םיזוחא.א ינא הנופ יתרומל תשקבמו התרזע ב ינא תצעייתמ תורבח ג ינא תחנוז היעבה ד ינא תעייתסמ תורוקמב טנרטניאב ה ינא תשקעתמ הסנמו רותפל היעבה ימצעב ו תובוגת תובלושמ ה"ס ללכב עברמ תוחפ העש יצחל עבר העש העש יצח העשל העשמ

30 26 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב הלבט ז תרשפאמ ןיחבהל שו תוצובק תודדומתמ תויולת יתלב יפל ןונגס :ןה הדימלה.א תודמולה תועייתסמה תונופש ולא תלבקל עויס םינוש םימרוגמ וביגה(,א ב.)ד.ב תודמולה תויאמצעה תושקעתמש ולא רותפל תויעבה תוחוכב ןמצע וביגה(.)ה.ג לכ רתיה 5( )תורקחנ ןלהל סחייתנ יתשל תוצובקה :תונושארה תודמולה תועייתסמה תודמולהו.תויאמצעה הנחבנ הרעשהה יכ םייק לדבה יתש תוצובק ולא תעבראב ועצוהש םימרוגה :ליעל סחיה ישיאה,הקיטמתמל תסיפת ימצעה,דמולכ תותה ידומילמ הקיטמתמה היצזיטמגיטסו.הקיטמתמה ךרענ ןחבמ t,םיאתמ ההש יכ תודמולה תויאמצעה ןה תוב הסיפת" תימצע "דמולכ ההובג תודמולהמ תועייתסמה p value 0.03 (.) םג םרוגב סחיה" "הקיטמתמל צמנ םילדבה םיקהבומ יתש תוצובקה p value (,) רשאכ תויאמצעה ועיבה סחי יבויח םוחתל רשאמ.תועייתסמה תמועל,ז ונחבוה םילדבה יתש תוצובקה סחיב ןתסיפתל תותה ידומילמ הקיטמתמה ו היצזיטמגיטסה.הקיטמתמה,ףסונב הנחבנ הרעשהה םויק תולת תיטסיטטס הנתשמה ןונגס" "הדימלה ל הנתשמה עוצקמה" בוהאה "ב הקיטמתמ.רחא הלבטב 5 תגצומ תוגלפתהה תפתושמה ינש.םינתשמה ןונגס הדימל עוצקמה בוהאה ב תיאמצע תעייתסמ כ"הס הקיטמתמ הקיטמתמ כ"הס הרעשה ז הנחבנ תרזעב ןחבמ עובירב-יח ןוסריפ ( 2 )χ הלבקתהו ןפב קהבומ,)p-value=0.004( רמולכ תדמולה,תיאמצעה תמועל תדמולה,תעייתסמה תבה,הקיטמתמ הנימאמו.היתולוכיב קלחה אבה ןולאשב קסע ילגרהב יאנפה.תודדומתמה ןה ושקבתנ סחייתהל הרושל הכורא,םיקוסיע ןייצלו יבגל לכ דחא םהמ וזיאב הדימ ןה תוקסוע.וב חותינ םימרוגה תובוגתה השענ

31 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 25 תטישב varimax-ה היצטור,תילנוגותר ההו םמויק העברא םימרוג,םיישאר םתועמשמש,החתונ תטרופמו ןלהל ר( הלבט :)0.א תודדומתה םירג םייגול םייטמתמ.ב תרשעה עדיה יטמתמה.ג רודיב ינורטקלא.ד יוליב יסלק ובשוח םימאתמ םייראיניל םימרוג א ב-ו םייטנוולרה( אשונל )רקחמה ןולאש ימרוג תודמעה סחיב הקיטמתמל ר( הלבט.)3 ינש צמנ םימאתמ םיקהבומ :דבלב.א םרוגה סחיה" ישיאה "הקיטמתמל ילגרהל יאנפ םוחתב םירג םייגול.םייטמתמ.ב םרוגה תותה" ידומילמ "הקיטמתמה ילגרהל יאנפ םוחתב תרשעה עדיה.יטמתמה םרוגה דגיהה הניעט עצוממ תודדומתה םירג םייטמתמ תריתפ תודיח תויגול תריתפ וקודוס )ו תויצאירו( תריתפ םיצבשת השילג ירב תודיח עויס םירח ירועישב תיב הקיטמתמב תרומת( םות )תורבחל רוביח תודיח ןתגצהו םיבבוסל תרשעה עדיה יטמתמה ירק םירפס תוד םיאקיטמתמ הקיטמתמ תירלופופ תולאש תגצה תובושת ירב הרזע הקיטמתמב תשרב רודיב ינורטקלא יקחשמ בשחמ הייפצ היזיוולטב יטרסב ידיו השילג טנרטניאב יוליב יסלק טרופס תוליעפ תינפוג תרחא תוחיש תורבח

32 20 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב םימרוגה סחיה ישיאה הקיטמתמל תסיפת ימצעה דמולכ תותה ידומילמ הקיטמתמה היציטמגיטס הקיטמתמה םירג םייטמתמ םאתמה.215* ךרע p-ה תרשעה עדיה יטמתמה םאתמה *.096 ךרע p-ה קלחה אבה ןולאשב קסע סחיב תודדומתמה הדאינפלו.תיטמתמה ןה ושקבתנ סחייתהל הרושל 21,םידגיה ןייצלו יבגל לכ דחא םהמ וזיאב הדימ ןה תומיכסמ.ו חותינ םימרוגה תובוגתה השענ תטישב varimax-ה היצטור,תילנוגותר ההו םמויק העברא םימרוג,םיישאר םתועמשמש,החתונ תטרופמו :ןלהל.א תותה תישיאה תופתתשההמ הדאינפלב.ב תובישח הדאינפלה ךוניחל יטמתמה.ג תוידוחיי םינכתה הדאינפלה.ד תונגוהה הדאינפלה תוניעטה לכ דחא ןמ םידגיהה תדימו המכסהה םה תעצוממה םיגצומ הלבטב.18 םרוגה דגיהה הניעט עצוממ תותה תישיאה תופתתשההמ הדאינפלב ינאש ןויסינה תשכור יתופתתשהמ הדאינפלב יושע עייסל יל יתנכהב רקל םידומיל.םיהובג הדאינפלה תדדועמ ית קוסעל דיתעב.הקיטמתמב בושח יל תושעל בטימכ יתלוכי ידכ חילצהל.הדא ינפלב הדאינפלה הווהמ םרוג הרגמ תדימל י תוניינעתהה.הקיטמתמב תופתתשהה הדאינפלב הריבגמ ןוחטיבה.י ימצעה תובישח ינא תניינועמ ףתתשהל וכרעייש תודאינפלב.דיתעב

33 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 23 םרוגה דגיהה הניעט עצוממ הדאינפלה ךוניחל יטמתמה רפסה-תיב ךירצ דדועל תופתתשה.הדאינפלב הדאינפלה תמדקמ הבישח.תיטמתמ דמלנה התיכב קפסמ רג תולאש יד ןיאו ךרוצ.הדאינפלב תוידוחיי םינכתה הדאינפלה תולאשה הדאינפלב תונחוב םינפ םייתרגש,הקיטמתמה ךכבו ןה תוררועמ.ןיינע הדאינפלה הגיצמ םוחת הקיטמתמה רב.יבויח תולאשה הדאינפלב תב ךותמ םלועה וילאש,ישממה ינא הלוכי רבחתהל.תולקב הדאינפלה לממ רסח דמלנב,התיכב יכ איה תרשפאמ יל ריכהל םיקלח םיפי םיפסונ.הקיטמתמה תונגוהה הדאינפלה הדאינפלה הניא.תנגוה הדאינפלה תמרוג חתמ ףצרב עגופה.םידומילה הדאינפלה הדעונ קר.תוינגל הדאינפלה תדגונ ןורקיע.ןויוושה ןויע םוכיסב יאצממ ןולאש הדאינפלה,התעפשהו עיבצמ סחי יבויח פמל הדאינפלה.ויתורטמלו תורימאה וכזש המכסהל הלודגה ב ויה הדאינפלה" תמדקמ הבישח "תיטמתמ עצוממ( )4.1 רפסה-תיב"ו ךירצ דדועל תופתתשה "הדאינפלב עצוממ(,)3.0 תמועל ז תורימאה ולביקש דוקינה ךומנה ב :ויה הדאינפלה" הניא "תנגוה עצוממ( )1.4 הדאינפלה"ו תדגונ ןורקיע "ןויוושה עצוממ(.)1.5 ובשוח םימאתמה ימרוג ןולאש סחיה הדאינפלו תיטמתמה ל ימרוג ןולאש סחיה עוצקמל,הקיטמתמה צמנו רפסמ םימאתמ םייבויח :םיקהבומ.א תותה תישיאה תופתתשהמ הדאינפלב ל סחיה ישיאה הקיטמתמל )r=0.4, p-value<0.001(.ב תותה תישיאה תופתתשהמ הדאינפלב ל תותה תישעמה ידומילמ הקיטמתמ )r=0.4, p-value<0.001(.ג ךרעה ףסומה ינכת הדאינפלה ל סחיה ישיאה עוצקמל הקיטמתמה )r=0.3, p-value<0.005( םימרוגה תובישח הדאינפלה ךוניחל יטמתמה תונגוהו הדאינפלה צמנ םימאותמ ףא דחא ןולאש ימרוגמ סחיה.הקיטמתמל

34 38 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב ךשמהב ולאשנ תודדומתמה םאה וננוכתה רקל ןתופתתשה,הדאינפלב םאו,ןכ וזיאב.ךרד שימ )35%( ובישה בויחב ונייצו יכ ועייתסנ םינולאשב תודאינפלמ תומדוק יפכ ומסרפתנש רב.הדאינפלה התוה הרעשהה יכ ןתינ ןיחבהל תוננוכתמה ול א וננוכתה רקל ןתופתתשה הדאינפלב קלחב ינתשממ.רקחמה ןחבמ t הה יכ קר הנתשמב תונגוה" "הדאינפלה דחא( ןולאש ימרוגמ הדאינפלה )התעפשהו היה שרפה קהבומ.)p<0.01( רשאכ ונייצש תודדומתמה וננוכתהש תורחתל ורבס הרוצב תוחפ תצרחנ יכ הדאינפלה תנגוה רשאמ א הלא.וננוכתה הלאש תפסונ התייה םאה תדדומתמה הפתתשה תודאינפלב.תומדוק 28%-כ ךותמ תודדומתמה ובישה,בויחב שי רשאכ ןהיניבמ ונייצ יכ וחילצה רבעב עיגהל בל.רמגה קלחה אבה ןולאשה סחייתה הקיטמתמל,רדגמו ללכו הרשע םידגיה לכ דחא םהמ השרדנ תדדומתמה עיבהל תדימ התמכסה.ול חותינ ןולאש םימרוג המ השו םמויק םיביכרמ :םיירקיע.א תלוכיה תיטמתמה תונב תמועל םינב.ב תוישיא ינויפא הקיזב תלוכיל תיטמתמה.ג הנומאה תלוכיב תיטמתמה תונב םרוגה דגיהה הניעט עצוממ תלוכיה תיטמתמה תונב תמועל םינב ללכ-ךרדב םינב םירשכומ תונבמ.הקיטמתמב *4.3 ידומיל הקיטמתמ םימיאתמ םישנל קוידב םהש יפכ םימיאתמ.םירבגל השק תבש ןימאהל הלוכי תויהל תינג.הקיטמתמב *4.9 תונב תוחלצומ הקיטמתמב תוחפ.םינבמ ינא ךומסא השיא ןורתפב תויעב תויטמתמ תובושח קוידב ךומסאש יפכ.רבג תונב תוחלצומ הייארב תיבחרמ קוידב ומכ.םינב ינויפא תוישיא הקיזב תלוכיל תיטמתמה םא תב הכירצ רותפל היעב תיטמתמ שקבתש ףידע הרזע.ןבמ.673 *4.0 תיאקיטמתמ איה ללכ-ךרדב השיא תוישיא תב.הקזח תונהנש תונב הקיטמתממ ןה טעמ.תורזומ.585 *4.3

35 האולפניאדה המתמטית: היבטים תוכניים, ערכיים ומגדריים 31 הגורם האמונה ביכולת המתמטית של בנות ההיגד בנות חכמות דיין כדי להצליח במתמטיקה. טעינה ממוצע * בהיגדים שנוסחו בצורה שלילית, הומר הממוצע m ב- 6-m התגובות מצביעות על כך שהמתמודדות סבורות כי לנשים יכולות מתמטיות שאינן נופלות מו של הגברים. את עמדתן זו הביעו באופן נחרץ בהרבה מכפי שעשו ביתר השונים )כל הממוצעים 4 נמצאים בטווח מלבד ממוצע אחד(. חושבו ממים בין גורמי שון היחס למתמטיקה לבין שלושת גורמי שון מתמטיקה ומגדר. לא נמצאו ממים משמעותיים. כמו כן נבדקו ממים בין הגורמים השונים של שון יחס המתמודדת לאולפניאדה המתמטית, לבין שון מתמטיקה ומגדר. נמצא מם שלילי מובהק כמו r 0.225) (p בין הגורם התועלת האישית מההשתתפות באולפניאדה לבין הגורם המגדרי: האמונה ביכולת המתמטית של בנות. כלומר נחקרות שאמונתן ביכולת המתמטית של בנות פחותה יותר, רות תועלת רבה יותר בתחרות המיועדת לבנות. כן נמצא מם שלילי מובהק (p r 0.189) בין הגורם ההגינות של האולפניאדה לבין הגורם המגדרי: היכולת המתמטית של בנות ומת בנים. כלומר ככל שהמתמודדת מסכימה יותר עם ההיגד שהיכולת המתמטית של הבת אינה נופלת מזו של הבן, כך היא מסכימה יותר עם ההיגד שהאולפניאדה הוגנת. בחלק הבא של השון נתבקשה המתמודדת למסור פרטים אחדים על ביתה והשכלת הוריה. מן התגובות עולה בבירור כי בבית המתמודדת השכיחה יש מחשב מחובר לרשת האינטרנט, ושני הוריה הם בעלי השכלה על-תיכונית. בבתים רבים מצויים ספרים שעוסקים במתמטיקה מחוץ לתכנית הלימודים הבית-ספרית. הממצאים מוצגים בטבלאות מסתבר שההיגד "מתמטיקאית היא בדרך כלל אישה בעלת אישיות חזקה" היה דו-משמעי והיה אפשר להבינו כהיגד חיובי כמו גם כהיגד שלילי.

36 32 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב טירפה תוחיכש בשחמ ל רוביח טנרטני 4 בשחמ רוביח טנרטני 08 ירפס םניאש הקיטמתמ תינכתמ םידומילה 42 םירפס הקיטמתמב תירלופופ 10 תרגסמ תוחיכש ןוכית 34 תינוכית הבישי 43 הבישי ההובג 20 הטיסרבינ דסומ רחא הלכשהל ההובג 66 תרגסמ תוחיכש ןוכית 46 אנפל 31 הללכמ רנימס 24 הטיסרבינ דסומ רחא הלכשהל ההובג 68 ןולאשה הרחתמל תולאש יתש ללכ :תוחותפ.א ינייצ םיטביה םירושקה צמש הדאינפלו ןח ךייניעב.ב ינייצ ךתעד םיאשונ רופיש םינועט הדאינפלב ןלהל םוכיס 40 םידגיהה תורקחנה הבוגתכ הלאשל הנושארה םירפסמה[ םיירגוסב םינייצמ ירפסמ םידגיהה לכב :]אשונ.א חותיפ הבישח תיטמתמ תוכמתסהו התוחפ עדי רבצנ ]23[.ב ןפ רגמ "יפיכ"ו ]16[

37 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 33.ג ןונגס יתריצי,ירוקמו העיגנו ץוחמש םיאשונב תינכתל םידומילה ]3[ ידכ,שיחמהל ןיוצי יכ ךותב 40 םידגיהה םיחותפה םיטביה םינוש םירושקה הדאינפלו צמש ןח יניעב,תודדומתמה ועיפוה 58-כ םימעפ םילימה תבה ( :)ןהיתויטה חתפמ,הבישח,רגמ,ןיינעמ,בבחמ,ףיכ.יתריצי ןלהל םוכיס תוצלמה תורקחנה הלאשל היינשה ינייצ" ךתעד םיאשונ רופיש םינועט,"הדאינפלב ךס לוכה 46 םידגיה םירפסמה[ םיירגוסב םה רפסמ םידגיהה לכב :]אשונ.א שי טשפל ריהבהלו םיחוסינה ]15[.ב םינוש םירופיש םישרדנ םירושקה תולהנתהב תורחתה ]11[.ג שי גיהנהל המר תילאיצנרפיד ןולאשב יפל ליג הרחתמה ]5[.ד שי ןווגל םינכתה ]6[.ה שי רצקל ךר הניחבה ]5[.ו יאדכ רימהל סרפה וניאש כל יולת דסומב הגלמב ]2[ חותינב םימרוגה וחקלנ ןובשחב לכ תולאשה תופתושמה יתשל.תוצובקה צמנ העבש,םיביכרמ םל םכותמ קר העברא,והוז :ןלהלדכ.א ךרעה ינכת ףסומה הדאינפלה.ב תותה תישיאה ןמ תופתתשהה הדאינפלב.ג תובישח פמ הדאינפלה.ד תונגוה הדאינפלה תשו לכב םימרוגה םינושארה אצמנ רעפ יתועמשמ תודמע תורומה ל הלא.תודדומתמה רבסה ירשפא ךכל,אוה ןתייאר הבחרה תורומה ןתנבהו יכ תופתתשהל הדאינפלב היושע תויהל תוכה חווטל,קוחר הניא תדדומתמהש טביה תלגוסמ ותרל איהש םוקמהמ וב.תדמוע רקחמה טילבמ תעפשה םיסותימה םייליה םיפפה םוחת הקיטמתמה )Biller, 1996( ןסחי תודדומתמה םוחתל. רבתסמ תעפותש רסוח תוירלופופה הקיטמתמה ברקב ללכ,םידמולה הרדח םג הצובקל החילצמה ידומילב עוצקמ, איהו האב ידיל יוטיב רעפב יתועמשמ ולא הקיטמתמהש איה עוצקמ תונייטצהה,ןה ל ולא הקיטמתמהש איה םוחתה בוהאה ןהי.ב הצובקה הנושארה הלודג יפ 1.5.היינשהמ

38 34 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב רשקהב,ךכל ןיינעמ םוחתבש ןייצל תועוצקמ תודהיה המגמה שממ.הכופה רעפה תבהא תועוצקמ תודהיה ל החלצהה םהב יפ( )1.5 עבונ יפכ הארנה הייפמ תצובק רקחמה תודימלת תורגובו ךוניחה,יתדה רשא תוספות ידומיל תודהיה םייכרעכ רתימ ימוחת,דומילה םללכבו םג.הקיטמתמה סחיה יטנלוויבמאה יפלכ הקיטמתמה אב ידיל יוטיב םג ךשמב ןמזה הדימלתהש השידקמ תנכהל ירועיש תיב עוצקמב. ןמזה שדקומה ךומנ הברהב היהש יפכמ ןתינ.תופצל רבסה ירשפא הדבועל וז תינכתש,אוה םידומילה הקיטמתמב הביטחב הנויה הניא הווהמ רג םלוה תודימלתל )םידימלתלו( יב הסיפת תימצע ההובג.דמולכ ופ אצוי מ אוה העיגפ ילגרהב הדימלה םידימלתה םיינורשיכה,ב ןבומב, רשאכש ודמעי דיתעב הימדקאב ינפב םירג םישרודה תעקשה,ןמז ויהי םילגרומ ךכל שיש שידקהל ןמז בר ידכ.חילצהל ןועיט בשייתמ תוערתה תועמשנה פ רחא פ םהיפמ ישאר תטיסרבינה תונכומ תקפסמ םידמעומה םידומילל םיהובג םוחתב הקיטמתמה.םיעדמהו 5 ילגרה הדימלה תודימלתה םיאב ידיל יוטיב םג ינש םמויקב תונונגס,הדימל ינש םיגוס,תודמול תדמולה תיאמצעה תדמולהו.תעייתסמה תדמולה תיאמצעה תבה,הקיטמתמ הנימאמו היתולוכיב רשאמ תדמולה.תעייתסמה רשק ןילמוגה םוחת סחיה" "הקיטמתמל הנתשמל ןונגס" "הדימלה עיפשמ ינשב :םינוויכה.1 תדמולה תיאמצעה הסנמ רותפל תויעב המצעב רשאמ התרבח תדמולה,תעייתסמה רבדו אפוג ריבגמ ןומאה ה המצעב ו הסחי יבויחה,םוחתל ךכבו דדועמ הת דימתהל.התמצעב.2 ןתינ,רמול יכ לככ תדמולהש תשקעתמ רותפל תויעב הקיטמתמב תוחוכב,המצע העיקשמו ךכב,ןמז ךכ תרבגתמ התביח.םוחתל םילדבה םיקהבומ ולא ינש יסופיט,תודמולה תעייתסמה,תיאמצעהו םיעיבצמ יל ןוויכה רופישל סחיה םוחתל תסיפתו ימצעה :דמולכ דודיע הדימלה דודיעו הבישחה,תיאמצעה םייושע רפשל סחיה הקיטמתמל ו תסיפת ימצעה,דמולכ האצותכו ךכמ םג החלצהה,םוחתב םיארמש יפכ היאצממ ףולקא.)Eklöf, 2007( סחיה הקיטמתמל עיפשמ םג ילגרה יאנפה :תרקחנה לככ הסחיש תדדומתמה םוחתל הקיטמתמה דה, ךכ איה השידקמ קלח דבכנ תועשמ יאנפה ה םירגל םייגול.םייטמתמו ומכ,ןכ איהש לככ תספות ידומיל הקיטמתמה םייתותכ, ךכ איה השידקמ הנמזמ יונפה םוחתל תרשעה עדיה.יטמתמה םיאצממ ולא ןתינ שרפל ןפהש ךכב יתותה אטבתמ ןוצרב רישעהל,עדי תמועל תבהא עוצקמה תכפוהה םוחתה ןיעמל.ביבחת תחא ויתורטממ תויזכרמה רקחמ הכרעה התייה ןוחבל התמורת הדאינפלה ךוניחל יטמתמה.ץראב ןפה הכזש המכסהל הברה ב היה תדימ תובישח הדאינפלה ךוניחל :יטמתמה.5 יתשק ורמאמב ןוינכטה אישנ ירבד מל ר.)2818(

39 ,םיינכות םיטביה :תיטמתמה הדאינפלה םיירדגמו םייכרע 35 תודדומתמה תורובס יכ הדאינפלה תמדקמ הבישחה תיטמתמה תקפסמו םירג םניאש םימייק תינכתב םידומילה.תירפס-תיבה,רפסה-תיב,ךכיפל ךירצ דדועל תופתתשהה הדאינפלב ( םיטקיורפב.)םימוד ףא ביכרמה יתורחתה,הדאינפלב איה תספתנ יניעב תודדומתמה ךילהתכ ןגוה ינויוושו (,ז וננוכתהש תודדומתמה תורחתל ועיבה סחיב תונגוהל העד תוחפ תצרחנ רשאמ הלא א.וננוכתה רבסה ירשפא ךכל,אוה הלאש ועיקשהש,הנכהב וליג ששח לודג ינפמ -יא החלצה רשאמ הלא א,וננוכתה רבדו אצמ ויוטיב ןהיתובוגתב אשונב.).תונגוהה אצממ בשייתמ ותעד רגידא )Ediger, 2001( דדצמה הדימלב תיתורחת תמועל הדימלה תיפותישה עיצמו דדועל תורחתה.האירבה תמועל,ז השק תודדומתמל תרל תות תישיא ןה תופתתשההמ.הדאינפלב ןיינעמ ןייצל יכ הייאר הנוש וז קהבומב וזמ.ןהירומ תמועל,תודדומתמה םיאור םירומה תות תישיא הלודג תופתתשהב.הדאינפלב רבסה ירשפא,ךכל אוה םתייאר הבחרה םירומה,םתנבהו יכ תופתתשהל הדאינפלב תויושע תויהל תוכה חווטל,קוחר טביה תדדומתמהש הניא תלגוסמ ותרל ובש םוקמהמ איה.תדמוע םתייאר וז םירומה תמאות ויאצממ יריט )Tirri, 2000( רבדב העפשהה תירשפאה תופתתשה תורחתב םדיתע יעוצקמה.םירחתמה,םירומה ומכ םג,תודימלתה םירבוס יכ הדאינפלו םינכת :םיידוחיי איה תנחוב םינפ םייתרגש.הקיטמתמה ךכב איה הפיסומ ךבדנ דמלנל.התיכב העד וז תששאמ תרעשה רקחמה רבדב התמורת הדאינפלה ךוניחל,יטמתמה תמאותו התעד ישויוגניוג )Gyöngyösi, 2002( רבדב תונורתיה איהש צומ תויורחתב.תויטמתמ ומכ ןכ השש התעד תצרחנה,יסויניוג תקלוחה םתצמיה תונורסח םייופצ םיוולנה ךילהל :יתורחת יפל תעד,תודדומתמה הניא הדאינפלה תדגונ ןורקיע,ןויוושה ו תספתנ ןהיניעב םרוגכ רצוי.ץחל,יופצכ סחיה הדאינפלו תיטמתמה רזגנ סחיהמ םוחתל הקיטמתמה.ללכב תותה תישיאה תופתתשהמ הדאינפלב תמאותמ סחיה ישיאה הקיטמתמל ו תותה תישעמה ידומילמ.הקיטמתמה ומכ,ןכ ךרעה ףסומה ינכת הדאינפלה םאותמ סחיה ישיאה עוצקמל.הקיטמתמה תמועל,ז סחיה הקיטמתמל עיפשמ ןתסיפת תודדומתמה יבגל תובישח הדאינפלה ךוניחל יטמתמה תונגוה.הדאינפלה תודמע ולא יפלכ,הדאינפלה,הארנכ ןניא תורזגנ הסחימ תדדומתמה םוחתל,הקיטמתמה א ךותמ תיווח תוסנתהה.תורחתב ףא חתמה הוולנה ןפב יעבט בצמל,"תורחת" הדאינפלה תשפתנ יניעב תדדומתמה תוליעפכ תדדועמ הבישח ןבומב "יפיכ"ה.רגמהו ךכב ורבחתה תודדומתמה תורטמל הדאינפלה יפכ ורהצוהש ידי- ינגראמ.תורחתה העד וז,תודדומתמה הלוע הנקב דחא וירבד במוקטיוו )Whitcombe, 1988( רקוח הקיטמתמה לבקמה הארשה,תויתריצימ ןוימדמ הכרעהמו,הייפויל וו אקווד תויתותהמ.ה תויטנוולרהמו

40 36 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי האולפניאדה היא תחרות המיועדת לבנות בלבד. עקב כך היא נטולת איום סטריאוטיפי, כמו זה שתר על-ידי אמבאדי ועמיתיה (2002 al., )Ambady et כגורם המשפיע על ההישגים במתמטיקה. אינדיקציה להיעדר גורם סטריאוטיפי מגדרי מהווה הדעה הנחרצת בה מביעות המתמודדות את העמדה, כי לנשים יכולות מתמטיות שאינן נופלות מו של גברים. עמדה זו של המתמודדות מאששת את טענתה של סוליבן )2008 )Sullivan, בדבר הדימוי העצמי המתמטי החיובי בקרב בנות שלומדות בכיתות נפרדות ומת בנות הלומדות בכיתות מעורבות. עמדת המתמודדות בולטת במיוחד לנוכח ממצאיהם של הרברט וסטיפק )2005 Stipek, )Herbert & שהצביעו על הערכה עצמית או דעה קדומה נחותה של בנות בנות 18 והוריהן: על אף שלפי דיווחי המורים, הישגי הבנות באותה שכבת גיל לא נפלו מו של הבנים, העריכו גם הבנות וגם הוריהן, שיכולותיהן המתמטיות נמוכות מו של הבנים. מעניין לציין את השפעת התפיסה המגדרית על היחס לאולפניאדה המתמטית: נחקרות שאמונתן ביכולת המתמטית של בנות פחותה יותר, רות תועלת רבה יותר בקיומה של תחרות המיועדת לבנות. מסקנה אפשרית מממצא זה היא, שהאולפניאדה המתמטית מאפשרת לבת לבטא את יכולותיה המתמטיות, ומגבירה את אמונת המתמודדת ביכולותיה. ממצאי המחקר מצביעים על דרכים חדשות להעצמת הלומדים ביחסם למתמטיקה, באשר הם מעלים על נס את החשיבות של היצירתיות והחשיבה הלא שגרתית כגורמים ינוי היחס לתחום המתמטיקה. בפרט, המחקר מתווה דרכים ינוי יחס הבת למתמטיקה והדימוי העצמי המגדרי שלה למקצוע זה הן כלומדת והן כמלמדת: יש ודד חשיבה עצמאית כדי צב לומדת בעלת ביטחון עצמי. הפיכתה של הלומדת צמאית ישליך על היחס לתחום ועל הדימוי העצמי. האולפניאדה תורמת לכך, משום שהיא מושתתת על חשיבה עצמאית, וכוללת שות בלתי שגרתיות ומפני שהיא מעודדת פעילות- רשות מחוץ למסגרת תכנית הלימודים המחייבת. ממצאי המחקר תומכים בסברה שפעילויות מעין האולפניאדה עשויות פר את הנחיתות המגדרית של הנשים ביחס לגברים באשר לכישוריהם המתמטיים, וכן לצמצם את המיתוסים השליליים האופפים את המקצוע והבאים לידי ביטוי, אפילו אצל המצטיינות בתחום. המחקר עורכי הרחבת של הכדאיות על ממליצים הפעילות למגזרים חרדים, בנים, כגון אחרים ערבים תוך אימוץ הצורה היצירתית והלא שגרתית של האולפניאדה.

41 האולפניאדה המתמטית: היבטים תוכניים, ערכיים ומגדריים 35 הורניק,י' ומאיר, וולבה, ש' נ' (1989). ניתוח-על של אי-תגובה בסקרי דר. מגמות, לב, )1336(. זריעה ובנין בחינוך. ירושלים: פלדהיים. ולמר, ת' )2812(. נבחרת ישר במתמטיקה איפה הבנות?..ynet אוחזר מתוך קשתי, א' )2818(. נשיא הטכניון, פרופ' פרץ לביא: הוראת המדעים בישר בקריסה. הארץ. אוחזר מתוך Ambady, N., Paik, S. K., Steele, J., Owen-Smith, A., & Mitchell, J. P. (2004). Deflecting negative self-relevant stereotype activation: The effects of individuation. Journal of Experimental Social Psychology, 40(3), Anderson, J. (1989). Sex-related differences on objective tests among undergraduates. Educational Studies in Mathematics, 20(2), Biller, J. (1996). Reduction of mathematics anxiety. Paper presented at the annual national conference on Liberal Arts and Education of Artists, 10th, New York, NY. Retrieved from ERIC database Bishop, K., & Walters, H. (2007). The national ocean sciences bowl: Extending the reach of a high school academic competition to college, careers, and a lifelong commitment to science. American Secondary Education, 35(3), Doepken, D., Lawsky, E., & Padwa, L. (1993). Modified Fennema-Sherman attitude scales. Paper presented at the Woodrow Wilson Gender Equity in Mathematics and Science Congress (WW-GEMS), Princeton. Retrieved from Ediger, M. (2001). Cooperative learning versus competition: Which is better? Opinion paper. Retrieved from ERIC database Eklöf, H. (2007). Test-taking motivation and mathematics performance in TIMSS International Journal of Testing, 7(3), Feng, A. X., Campbell, J. R., & Verna, M. (2002). Understanding gender inequity in America: Interviews with academic Olympians. Journal of Research in Education, 12(1), Frenzel, A. C., Pekrun, R., & Goetz, T. (2007). Girls and mathematics a "hopeless" issue? A control-value approach to gender differences in emotions towards mathematics. European Journal of Psychology of Education, 22(4), Gyöngyösi, E. (2002). Mathematics competitions and their role in education. Acta Academiae Paedagogicae Agriensis, Sectio Mathematicae, 29, Hansen, M. H., & Hurwitz, W. N. (1946). The problem of non-response in sample surveys. Journal of American Statistical Association, 41(236), Herbert, J., & Stipek, D. (2005). The emergence of gender differences in children's perceptions of their academic competence. Journal of Applied Developmental Psychology, 26(3), Leder, G. (1980). Bright girls, mathematics and fear of success. Educational Studies in Mathematics, 11(4), Leder, G., Forgasz, H. J., & Taylor, P. J. (2006). Mathematics, gender, and large scale data: New direction or more of the same? In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká, & N. Stehlíková, (Eds.), Proceedings of the 30th annual conference of the international group for the

42 30 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי psychology of mathematics education (Vol. 4, pp ). Prague: PME. Retrieved from Leeson, N. (1995). Performance of sixth-graders in the Australian primary schools mathematics competition: Gender and other factors. Mathematics Education Research Journal, 7(1), Mertz, J. E., Andreescu, T., Gallian, J. A., & Kane, J. (2008). Cross-cultural analysis of females identified with exceptional mathematical talent. Paper presented at the annual meeting of the Mathematical Association of America MathFest, TBA, Madison, Wisconsin. Retrieved from html?phpsessid=578cca421a0decf7d32d5eff926ed208 Pepitone, E. A. (1985). Children in co-operation and competition; Antecedents and consequences of self-orientation. In R. Slavin, S. Sharan, S. Kagan, R. Hertz-Lazarowitz, C. Webb, & R. Schmuck (Eds.), Learning to cooperate, cooperating to learn (pp ). New York: Plenum Press. Scott, C. (1961). Research on mail surveys. Journal of the Royal Statistical Society, 124, Shih, M., Pittinsky, T. L., & Ambady, N. (1999). Stereotype susceptibility: Identity salience and shifts in quantitative performance. Psychological Science, 10(1), Sullivan, A. (2008). Academic self-concept, gender and single-sex schooling. British Educational Research Journal, 35(2), Tapia, M., & Marsh II, G. E. (2004). An instrument to measure mathematics attitudes. Academic Exchange Quarterly, 8(2), Taylor, P. (2008). Australian mathematics trust. Retrieved from IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement) (2007). TIMSS 2003 School questionnaire grade 8 (BCG). Retrieved from Tirri, K. (2000). Actualizing mathematical giftedness in adulthood. Paper presented at the ECHA conference, Debrecen, Hungary. Whitcombe, A. (1988). Mathematics: Creativity, imagination, beauty. Mathematics in School, 17(2),

43 'ישוק' םיגשומה תסיפת 'רג'ו תויטמתמ תויעבב 33 םינשב תונורחאה ומסרפתה םירמאמ םיירקחמ םיבר םיקסועה תובישחב רגה.הארוהב בורל םינד םירמאמה הלאה תוטישב הארוהה תומיאתמה,םידימלתל הרשכהב תשרדנה םירומהמ תוסיפתבו,םירומה םניאו םידקמתמ תדוקנב טבמה.םידימלתה רקחמ קסוע תדוקנב טבמ.וז ותרטמ דומלל ןפב ינושאר םהמ םימרוגה םיעיפשמה תוסיפת םידימלתה ןיינעב ישוקה המישמ תיטמתמ איהש רגהו.הביצמ ינש ופות רקחמב :םינתשמ.א תויתרגש היעבה תיטמתמה תויתרגש תויעב תוססבתמה תינכת םידומילה דרשמ ךוניחה תויעבו,תויתרגש תוב ןווג תודיח ןניאו תורזגנ תינכתמ.םידומילה.ב תדימ תוברועמה דימלתה ןורתפב היעבה םיבצמ תוברועמ הכומנ ירק( תויעב תויטמתמ ילב ןויסינ רותפל ןת ןורתפו תייחנהב )הרומ בצמו תוברועמ ההובג ןורתפ( יאמצע.)היעבה קדבנ רקחמב םא דציכו תדימ תוברועמה םידימלתה ןורתפב היעבה העיפשמ תוסיפת ישוקה ;רגהו םא דציכו תדימ תויתרגשה תולאשה העיפשמ תוסיפת,ולא םאו שי העפשה תבלושמ תוברועמל ןורתפ היעבה תויתרגשלו תויעבה תוסיפת רגה תולאש.ישוקהו ולא וקדבנ םגדמ םידימלת םידמולה תותיכב 'ז רפס-יתבב ירבוד תיברע םורדב.ץראה רקחמה אוה רקחמ "ישושיג".ויפב רקחממ היהי רשפא רוזגל תונקסמ תונושאר םימרוגה םייושעש תוהל ןיינעה םידימלתה ידומילב הקיטמתמה ךכבו שמשל סיסב ירקחמל ךשמה רופישלו תרשכה יחרפ הארוה אשונב. רקחמב אצמנ רשאכש תדימ תוברועמה םידימלתה ןורתפב היעבה התייה,ההובג תכרעה ישוקה רגהו ויה םיהובג תיסחי םיבצמל םהבש תדימ תוברועמה התייה.הכומנ ומכ ןכ רקחמה הארה בבש ןורתפה,יאמצעה תויעבה ה תויתרגש וספתנ תושק הברה תויעבהמ.תויתרגשה תמועל,ז רשאכ םידימלתה ושקבתה קר אורקל תויעבה ילבמ תוסנל רותפל ןת ועציבש

44 48 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי פתרון מונחה על-ידי המורה, לא היה הבדל מובהק בין תפיסת הקושי של בעיות שגרתיות לבין תפיסת הקושי של בעיות לא שגרתיות. המחקר מצביע על כך ששות לא שגרתיות בעלות גוון חידתי עשויות להעלות את העניין בלימודי המתמטיקה בקרב התלמידים. במובן זה תוצאות המחקר מרמזות על יתרון של שילוב משימות כה בשיעורי המתמטיקה בבית-הספר ובהכשרת פרחי הוראה לכך. מילות מפתח: אתגר; קושי; בעיות לא שגרתיות. במסגרת הכשרת פרחי הוראה במתמטיקה נשתי לא פעם אילו שות מתמטיות מאתגרות תלמידים במיוחד, ילו שות הופכות את ההוראה גרתית, ובכלל, אם תלמידים מבינים את ההבדל בין המושג "קושי" למושג "אתגר". אתגר וקושי הם מושגים סובייקטיביים: פירושה של המילה "אתגר" לפי מילון אבן שושן ה: "מנה להתמודדות, דבר או רעיון המגרים רצונו של אדם או של ציבור להתמודד אתם, להשיגם או להתגבר עליהם". האתגר מגרה אפ להתמודדות. "קושי", לפי אבן שושן, ה "מכשול, מעצור, חומרה, דבר המכביד על פעולה". אך ייתכן שבתפיסתם של התלמידים יש קשר חזק בין שני המושגים הה: אתגר מזמן קושי. אין ספק שלמשימות מתמטיות מאתגרות יש תפקיד חשוב מאוד בהפיכתו של מקצוע המתמטיקה למרתק ול'ידידותי' יותר לתלמידים. באופן כללי ברור שהצבת אתגר לתלמידים בהוראה בכלל ובהוראת המתמטיקה בפרט היא גורם חשוב בפיתוח הידע שלהם. הספרות בנושא עוסקת בשנים האחרונות בהיבטים חשובים מזווית הראייה של המורה, של ההוראה ושל הכשרת המורים. אילו משימות וחומרים מאתגרים יותר מאחרים? כיצד לבנות משימות כה? כיצד להכשיר מורים לב משימות מאתגרות בשיעור? מהן תפיסות המורים כלפי סוגיית האתגור? ועוד 2004( ;Leikin, Barbeau & Taylor, ;Applebaum & Leikin, 2007.)2009 תקצירים של הכנסים: -16 ICMI,CMEG - 4,CMEG - 5,ICME 11, עד כה לא פורסמו מחקרים שעוסקים בנקודת המבט של התלמידים כיצד הם תופסים את האתגור? מהם הגורמים שמשפיעים על תפיסת האתגר מנקודת מבטם? במחקר ה ניסינו לפתוח צוהר השות הה, ובזה מתבטאת חדשנותו. ג'וורסקי )1994 )Jaworski,,1992 טוענת כי מרכיבי הליבה של ההוראה הם האתגר המתמטי, הרגישות כלפי התלמידים וניהול הלמידה. כדי לפתח הבנה מתמטית, המורה חייב ליצור מצבים שדורשים מאמץ מנטלי מן התלמידים. האיכות של הוראת המתמטיקה בכיתה נקבעת על-ידי המשימות

45 'ישוק' םיגשומה תסיפת 'רג'ו תויתרגש ו תויתרגש תויטמתמ תויעבב 41 תויטמתמה הרומהש רחוב גיצהל,םידימלתל ידי-ו םיכרדה ןהבש אוה גיצמ תומישמה הלאה ;Simon, 1997(.)Steinbring, 1998 יפל סורב )Brousseau, 1997( היעב תיטמתמ הבוט תנמזמ תיינב עדי יטמתמ לצא םידימלתה ידי- תורבגתה םיישק,םייטמתמ שופיח םילכ םייטמתמ,םימיאתמ םושיי יביטקפא םילכה,הלאה הכרעה תיתרוקיב תונורתפה תריציו תויעב תושדח תורושקה היעבל.הנותנה עודי יכ םירומ םיבר םירחוב תומישמ תוילנויצנבנוק םירועישל םה םיחנמו םידימלתה אוצמל תונורתפ םייטרדנטס.(Leikin & Levav-Waynberg, 2007) ינוק )Cooney, 2001( יאש ןייצמ רשפא חתפל לצא םידמולה ןיינע הקיטמתמב שומיש ידי- תומישמב תושרודה תפה םימתירוגלא.דבלב שומיש תויוליעפב תויטמתמ תורגמ וניא יאנת קיפסמ תקפהל תותה תיברמה ןהמ.התיכב םשל ךכ םירומה הל תונורתיה שומישבש תומישמב תורגמ ענכתשהלו תובישחב שומישה תומישמב הלאכ הארוהב ידומילבו.הקיטמתמה םהי שיגרהל" "םיחוטב הניחבמ תיטמתמ,תיגוגדפו רשאכ רבודמ גוסב תומישמ.הקיטמתמב הריחב תומישמ תויטמתמ תורגמ איהשכ המצעל המישמ :הטושפ שארב הנושארבו איה תשרוד תעדל יא גוס תומישמ תורגמ םידימלתה ב יאבו הדימלה ןוכנ תתל ןת.םידימלתל רורב המישמ"ש "תרגמ איה גשומ יביטקייבוס לוכיו תונתשהל דימלתמ.דימלתל הרומה ריכהל תונושה וידימלת להנלו הדימלה ךכ םירגהש ומאתוי םיכרצל לכ דימלת ידכ לכש םידימלתה ויהי םירגתמ.רועישב רורב יכ תורמל ינושה,םידימלתה ןכתיי המכ םהמ היהת הסיפת המוד סחיב תמרל רוגה ןת תומישמה.תויטמתמה הרומה ריכהל םיסופדה הלאה דומי ידכ הקיטמתמה ןיינעי וידימלת.(Krainer, 2001) ףסונ תרכה יסופד הבישחה יצמו םיסופדה םימודה לצא םידימלת בושח קודבל םא גשומה "רג" רשקתמ ותסיפתב דימלתה גשומל,"ישוק" םאו ןכ וזיאב.הדימ םאה המישמ השק איה חרכהב?תרגמ אמש המישמ השק הפרמ םהידי םידימלתה תמרוגו םהל א וצרי דדומתהל עדימ.המע יושע עיפשהל תלבק תוטלחהה םירומה תריחבב תומישמה.הארוהל יא רשפא תונבל רוה הקיטמתמה קר תומישמ.תויתרגש בוליש לכשומ תומישמה הלאה תומישמה תויתרגשה בייח תויהל ןונימב םיאתמה תייסולכו דעיה תינכתלו.םידומילה םאה תולאש תויתרגש תורגמ םידימלתה תולאשמ?תויתרגש ז תחא תולאשה רקחמהש ה שקבמ בישהל.הי תודדומתה תומישמ תורגמ תרזוע םידימלתל ריכהל ירהש,םהירושיכ דימלתה וניא עדוי םא חילצי המישמב תרגמ ינפל אצמיש הנורתפ בורלו( ןיא ותושרב םתירגולא ויש אוה לוכי.)ןעשיהל ויתימעו ןמליטסו ימזק (Kazemi, 1998; Stillman et al., 2009( רשאכש םינעוט םידימלת םיקסוע ןורתפב תויעב תורגמ םה םיאצמנ לובגה ש םוחתה ובש םה םישיגרמ חונ ל ובש םוחתה םה.'םינכתסמ'

46 ה' 42 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי "אתגרים משפרים את יכולתם של התלמידים להתמודד עם בעיות לא צפויות והצלחתם בכך מכינה אותם לחיים האמיתיים" )246.p.)Stillman et al.,,2009 בחיי היום-יום, סטילמן ועמיתיו (2009 al., )Stillman et מוצאים יתרון נוסף במשימות מאתגרות: הן מאפשרות לתלמידים לפתח הבנה שלמה יותר של מושגים מתמטיים. יתרה מזו המשימות המאתגרות מזמנות, לטענתם של פאוול ועמיתיו (2009 al.,,(powell et הבניית ידע חדש ולא רק הפעלת גוריתמים ידועים מראש. לב הצורך על רחבה הסכמה אפ יש משימות מאתגרות במתמטיקה, לדרך הוראות אין אך הבחירה של המשימות ולהמתן לאוכלוסיות התלמידים. אם המורים ידעו איך תלמידים תופסים את המושג 'אתגר', הם יוכלו להפוך את ההוראה שלהם למאתגרת יותר ולמשמעותית יותר. בעקבות הסיווג של שולמן )1986 )Shulman, של סוגי הידע של המורים, אנו רים שהתפיסות של המורים כוללות תפיסות מתמטיות, תפיסות פדגוגיות ותפיסות שיש להם על תכנית הלימודים. הדרך שבה הם תופסים את האתגר המתמטי היא מרכיב אינטגרלי בידע המטה-מתמטי שלהם ובידע המתמטי שבו הם משתמשים בהוראה (2005 Bass,.(Ball, Hill & התפיסות הפדגוגיות של המורים את האתגר המתמטי משקפות את מודעותם לתפקידו של האתגר המתמטי בהוראת המתמטיקה ובלמידתה ובמערכת היחסים בין הידע המתמטי, הכישורים והמיומנויות של התלמידים מצד אחד לבין רמת הקושי המימה של בעיה מתמטית מצד שני. חשוב שהמושג 'אתגר מתמטי' יהיה מושרש בפעילות, בידע ובאמונות שלהם. תפיסות ו משפיעות על האופי ועל המבנה של המשימות המתמטיות. את העמדות של המורים כלפי המושג 'אתגר המתמטי' חקרו לאחרונה אפלבאום ולייקין 2007) Leikin,,(Applebaum & וגוברמן ולייקין 2013) Leikin,.)Guberman & בעבודות ה נמצא שאצל המורים יש כיסוי כמעט מלא של כל הסוגים של בעיות מאתגרות אשר הוגדרו בספרות מקצועית 2009) Taylor,.(Barbeau & במחקרם של אפלבאום ולייקין (2007 Leikin,,(Applebaum & נבדקו עמדות המורים כלפי מושג שה המאתגרת'. במחקר נמצא כי המורים השתמשו בתוכן המתמטי של הקורסים שלמדו ותגרו בעצמם. השימוש של המורים בתוכן של הקורסים הפדגוגיים בלט בדיון על הקשיים של התלמידים ועל התפיסות המוטעות שלהם. המורים טענו כי כדי להציג לתלמידים משימות מתמטיות מאתגרות הם עצמם חייבים להרגיש בטוחים מבחינה מתמטית עם המשימות. המם החיובי שנמצא בין הצלחת המורים בפתרון הבעיות לבין הדרך שבה הם העריכו את האתגר המתמטי שהוצב בהן, מדגיש את חשיבותו של הידע המתמטי ושל מומחיות המורים בפתרון בעיות לאתגור מתמטי של התלמידים בכיתות.

47 תפיסת המושגים 'קושי' ו'אתגר' בבעיות מתמטיות שגרתיות ולא שגרתיות 43 במחקר זה התבקשו מורים לאפיין ולדרג בעיות מתמטיות )על סולם הנע בין 1 ל- 12 (, אשר לדעתם אמורות לאתגר תלמידים בחטיבות הביניים. בנספח 3 להלן מוצג הדירוג הממוצע )כאשר ככל שהערך נמוך יותר, כך רמת האתגור גבוהה יותר( והאפיון של המשימות. אפשר לראות בממצאים כי המורים דירגו את השות האינטגרטיביות בדירוג הגבוה ביותר. הדירוגים הבאים היו )בסדר יורד(: )1( בעיות הדורשות חשיבה לוגית; )2( בעיות שאפשר לפתור בדרכים אחדות; )3( בעיות חקר וגילוי; )4( בעיות לא סטנדרטיות; )5( בעיות שמזמנות הכללה מתמטית; )6( הוכחת טענות מתמטיות חדשות; )5( בעיות שדורשות בניות עזר; )0( מציאת טעויות בפתרון; )3( פרדוקסים; )18( נושאים שמחוץ לתכנית הלימודים; )11( בעיות ובהן פרמטרים. הממצאים הה חשובים, אך חשוב לבדוק גם את עמדות התלמידים כלפי המושג 'אתגר' כיוון שהנושא טרם נבדק באופן אמפירי. ייתכן שיימצאו הבדלים בין תפיסות המורים לתפיסות התלמידים ביחס למושג המשימה המאתגרת. בהסתמך על עבודות של צ'רלס ולסטר )1982 Lester,,)Charles & לייקין )2004,)Leikin, שונפלד )1985 )Schoenfeld, ופוליה )1973 )Polya, אפשר לסכם ולומר כי משימה מאתגרת היא כזו המעוררת מוטיבציה להתמודד אתה; שאין לה פתרון מידי; שדורשת ניסוי; שיש כמה דרכים לפתרונה. עם זאת, לייקין )2004 )Leikin, ציינה כי אין לקריטריונים ה אופי אוניברסלי: בעיה יכולה לאתגר תלמיד אחד ולא ניין תלמיד אחר: Leikin, 2004, p. 209). בבחירת הבעיות למחקר הנוכחי הסתמכתי על ממצאי המחקר של אפלבאום ולייקין (2007 Leikin, (Applebaum & תוך המת המשימות לתלמידים בכיתה ז' )שהיוו את המדגם במחקר זה(. שש הבעיות המתמטיות שנבחרו למחקר )ראו נספח 2( הן מתחומים שמורים סברו שהם מאתגרים ביותר לפי הדירוג שצוין למעלה: )1(, )2(, )3(, )4(, )5( ו-) 6 (. לחלק מהבעיות שנבחרו יש יותר מאפיון אחד. לדוגמה, שה מתמטית מס' 1 במחקר מאופיינת כך :)2(, )4(, )5(, )11(; ושה מס' 3 מאופיינת כך:,)1(,)3(,)4(.)6( באופן כללי, הבעיות 2 1, ו- 4 נחשבו למשימות לא שגרתיות, אשר אינן נכללות בתכנית הלימודים, בעלות גוון חידתי ודורשות מיומנויות חשיבה מסדר גבוה. משימות כה יכולות להים לתלמידים הלומדים בכיתה ז'. הבעיות 5 3, ו- 6 היו שות שיש להן הלימה עם תכנית הלימודים והן דומות לה שבספרי הלימוד העדכניים. כל שש הבעיות היו חדשות לתלמידים.

48 44 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב תרטמ רקחמה התייה ןוחבל תוסיפת םידימלתה יפלכ רג ישוקו רשקהב םימרוג םידחא םייושעה עיפשהל.םתסיפת ינש םימרוגה ונרחבש קוסעל םהב םה תדימ תוברועמה דימלתה ןורתפב תויעבה תדימו תויתרגשה היעבה תיתרגש( ונרעיש.) יכ ולקתייש םידימלת היעבב השקה םהל, איהש וכירעי םג תרגמ. םידימלתהש וניוויק וניחבי ינש םימרוגה ו וכרכי םת ב רמולכ( א וניוויק לבקל םאתמ בורק 1-ל תכרעה ישוק היעבה תכרעהל תדימ.)הבש רוגה דוע ונרעיש יכ תויעב תויתרגש וספתיי תורגמ םגו תושק, יכו תדימ תוברועמה םידימלתה היעבב ףא איה עיפשת ותב ןוויכה ןה תסיפת ישוקה ןהו תסיפת.רגה רמולכ לככ םידימלתהש ויהי םיברועמ ןורתפב היעבה ןפב יביטקא,יאמצעו ךכ איה םג היהת םהל השק תרגמ םגו. רחאמ היהש ריבס חינהל תויעבש תויתרגש וספתיי תושקכ ןכלו םג תורגמ תויעבמ,תויתרגש ונרעיש יכ ולבקתי תויצקארטניא תוקהבומ תדימ תוברועמה תדימו תויתרגשה,היעבה ןתעפשהב תסיפת ישוקה ןהו תסיפת.רגה םגדמב ופתתשה 53,םידימלת 45 תונב 26-ו םינב ינש( םידימלת ונייצ )םנימ שומ תותיכ 'ז םידמולה רפס-יתבב ירבוד תיברע םורדב.ץראה לכ התיכ תדמול רפס-תיבב.רחא רקחמה להנתה השוב םיב ולדבנש דחאה ינשהמ תדימב תוברועמה םידימלתה ןורתפב תשו.היעבה םיבה וכרענ ותב.םוי ינפל בה ןושארה רקחמה םידימלתה ושקבתה מל ןולאש תודמע יפלכ ידומיל הקיטמתמה חוודלו ןויצה םה.הדועתב ןולאש חפסנ( )1 דעונ ןייפ יפתתשמ רקחמה תניחבמ םהיגשיה ידומילב הקיטמתמה םה תודמעהו יפלכ.עוצקמה ינפל תליחת היצלופינמה תייוסינה רבסוה םידימלתל היעב"ש "תרגמ איה הלאש תניינעמ רשא תררועמ ןוצר דדומתהל.ה בה ןושארה המישמה ךשמנ תוקד ובו ןתינ שש ללכש ןולאש םידימלתל תויעב תויטמתמ ר( חפסנ.)2 םידימלתה ושקבתה אורקל תויעבה ילב תוסנל רותפל,ןת גרדל תדימ ישוקה לכ היעב יפ- םתסיפת ןייצלו דע המכ איה תרגמ םת תדימ"(.)"רגה גורידה השענ

49 'ישוק' םיגשומה תסיפת 'רג'ו תויתרגש ו תויתרגש תויטמתמ תויעבב 45 םלוסב 4 :תוגרד 1 ושוריפ היעב" "השק " "תרגמ 4-ו ושוריפ היעב" השק "דמ תרגמ"."דמ רח םידימלתהש ומייס מל ןולאשה אוה חקלנ.םהמ בב תוברועמה םידימלתה ןורתפב תולאשה היה ירהש ךומנ םה וסינ ללכ ןת רותפל א קר רק.ןת בב ינשה ולביק בוש םידימלתה ות,ןולאשה ךשמבו 45 תוקד וסינ רותפל.תויעבה רח ןכמ םה ושקבתה גרדל,בוש יפ-,םתסיפת תדימ ישוקה ו תדימ רגה ןת.תויעבה םידימלתהש רח ומיה,המישמה וחקלנ םהמ.םינולאשה בב םידימלתה ודדומתה ןפב ליעפ,תויעבה םה תוברועמהו התייה.ההובג בב ישיה וגיצה םירומה םידימלתל ןורתפ.תויעבה ךרד ןורתפה הגצוה ותב ןפ לכב תחא תותיכהמ ופתתשהש.רקחמב רח ןכמ קלוח ות ןולאש םידימלתל פב,תישיה םהו ושקבתה גרדל בוש תדימ ישוקה רוגהו ןת תויעבה יפכ וספתש ןת.פה בב ובש גצוה ןורתפה ךרדומה תוברועמה תיביטקאה םידימלתה תוליעפב התייה הכומנ בב רשאמ.ינשה שש ךותמ שו ןולאשבש תויעבה תומישמ תומישמ(,3,5 6 ר חפסנ )2 ויה "תויתרגש" ןבומב ןהש וקסע םיאשונב ודמלנש יפל תינכת.םידומילה,ןתמועל שו תורחאה ויה " "תויתרגש תומישמ(,1,2 4 ר חפסנ )2 וקסעו םיאשונב םניאש םיללכנ תינכתב.םידומילה תויעבל ה תויתרגש היה ןווג,יתדיח ידכו דדומתהל ן השרדנ הבישח תיגול הנבהו.תירפסמ 50 םידימלת וחוויד ןויצה םה עוצקמב הקיטמתמה,רפסה-תיבב לבקתהו עצוממ תייטס ןקת לכ םידימלתה ופתתשהש רקחמב וימ ןולאש תודמע ר( חפסנ )1 עוצקמ.הקיטמתמה ןולאשב ויה 3,םיטירפ 3 םהמ וחסונ ךופה ראשמ.םיטירפה עצוממ םידימלתה ןולאשב היה תייטס ןקת ןה ןויצה םידימלתה עוצקמב הקיטמתמה ןהו ןויצה םידימלתה ןולאשב תודמעה וגלפתה ןפב,ילי ירטמיס-א ךכו בור םידימלתה ולביק םינויצ םיהובג ינשב םידדמה ר( חול.)1

50 46 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב Descriptive Statistics רפסמ םידימלתה עצוממה תייטס ןקתה ןויצה ילמנימה ןויצה ילמיסקמה ןויצה הקיטמתמב תודמעה יפלכ הקיטמתמה הליחת ראתנ ונלביקש םינותנה לכ תחא ןמ תויעבה.דוחל חול 2 גיצמ תדימ ישוקה רגהו ןהיש וחוויד םידימלתה לכב תחא ןמ.תויעבה ומכ ןכ םיגצומ םימאתמה תדימ ישוקה רגל וחוודש לכב המישמ ב יפל תוברעתהה האירק(,דבלב ןורתפ,יאמצע ןורתפ.)ךרדומ תדימ ישוקה תדימ רגה םימאתמ תדימ ישוקה תדימל רגה )r( האירק דבלב ןורתפ יאמצע ןורתפ ךרדומ האירק דבלב ןורתפ יאמצע ןורתפ ךרדומ האירק דבלב ןורתפ יאמצע ןורתפ ךרדומ הלאש )8.03( 2.54 )1.83( 1.33 )1.85( 2.32 )1.15( 2.03 )1.13( 2.44 )1.16( 8.54** 8.61** 8.61** הלאש )8.32( 3.84 )1.83( 2.40 )1.82( 2.55 )1.81( 2.55 )1.15( 2.68 )1.85( 8.38** 8.66** 8.68** הלאש )8.36( 1.36 )8.33( 1.55 )8.03( 2.11 )1.13( 2.85 )1.83( 1.05 )1.85( 8.45** 8.30** 8.45** הלאש )1.82( 2.40 )1.13( 2.11 )1.16( 2.25 )1.83( 2.40 )1.24( 2.22 )1.15( 8.52** 8.66** 8.46** הלאש )1.84( 2.25 )1.10( 2.13 )1.85( 1.36 )8.33( 2.23 )1.15( 2.11 )8.30( 8.35** 8.46** 8.42** הלאש )1.85( 2.42 )1.28( 2.21 )1.15( 2.11 )1.15( 2.30 )1.14( 2.15 )1.85( 8.36** 8.54** 8.54** ** P<0.01 N=73

51 'ישוק' םיגשומה תסיפת 'רג'ו תויתרגש ו תויתרגש תויטמתמ תויעבב 45 חולבש םינותנה 2 םיארמ תצותה הלאש :הלאה 'סמ 1 )תיתרגש ( הבשחנ הלקל ב בב האירקה דבלב תרגמלו ב בב ןורתפה הלאש ;יאמצעה 'סמ 2 )תיתרגש ( הבשחנ הלאשל השקה ב לכב תשו םיבה,רקחמה תרגמלו ב בב האירקה דבלב בבו ןורתפה ;ךרדומה הלאש 'סמ 3 )תיתרגש( הבשחנ הלאשל הלקה ב לכב תשו םיבה םגו הלאשל תרגמה תוחפ ןלוכמ בב ןורתפה יאמצעה בבו ןורתפה ;ךרדומה הלאשה תרגמה תוחפ ןלוכמ בב האירקה דבלב הלאש התייה 'סמ 5.)תיתרגש( םא,ןכ םגש ררבתמ תדימב ישוקה םגו תדימב רגה אצמנ ות :סופד היי רבעמב במ האירקה דבלב בל ןורתפה יאמצעה הדיריו רבעמב במ ןורתפה יאמצעה בל ןורתפה.ךרדומה,המגודל חווידב תמר ישוקה הלאשב 'סמ 1 ולבקתה םיעצוממה :הלאה,1.55, אצממה דיחיה גרחש סופדהמ רכזנה ליעל היה חווידב תדימ רגה הלאשב 'סמ 3 :)תיתרגש הלאש( םיעצוממה ודרי הב :תויבקעב,2.11, שי חינהל םידימלתש וחילצה רותפל היעבה יכו ןורתפה ךרדומה דירוה תדימ.רגה הייה תדימ ישוקה רבעמב במ האירקה דבלב בל ןורתפה יאמצעה התייה הלודג תויעבב תויתרגש ה רשאמ תויעבב,תויתרגשה הענו 8.38,8.35-ל וליאו תויתרגש תויעבב חווט הייה היה קר ל הנומת המוד האצמנ חווידב תדימ ישוקה רבעמב במ ןורתפה יאמצעה בל ןורתפה :ךרדומה ןמזב חווטהש תויעבב ה תויתרגש היה 8.35,8.01-ל חווטה תויתרגש תויעבב היה ל ידכ עצבל חותינ יטסיטטס ונרצי םינתשמה :הלאה תדימ רגה תחוודמה תדימו ישוקה.תחוודמה לכל דימלת ונבשיח עצוממה יגוריד ישוקה רגהו לכב היעב,דוחל רחו ןכמ ונבשיח עצוממה רבעמ שול תויעבה.תויתרגשה עצוממה ה ונבשיח םג דוחל לכב דחא תשומ םיבה.יוסינב התב ךרד ונבשיח םג םיעצוממה יגוריד ישוקה רגהו תויעבב ה.תויתרגש תוחולב 3 4-ו םיגצומ םיעצוממה תויטסו ןקתה.ולא םינתשמ

52 40 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב האירק דבלב ןורתפ יאמצע ןורתפ ךרדומ ךס לוכה רבעמ( )םיבל תויתרגש תויעב 2.05 (0.68) 2.21 (0.80) )8.53( תויעב תויתרגש 2.21 (0.67) 2.75 (0.76) 2.18 (0.75) 2.30 )8.52( ךס לוכה רבעמ( לכל )תויעבה 2.13 (0.57) 2.48 (0.67) 2.12 (0.66) 2.24 )8.51( האירק דבלב ןורתפ יאמצע ןורתפ ךרדומ ךס לוכה רבעמ( )םיבל תויתרגש תויעב 2.06 (0.79) 2.23 (0.80) 2.04 (0.69) 2.11 )8.55( תויעב תויתרגש 2.45 (0.67) 2.71 (0.81) 2.42 (0.78) 2.53 )8.53( ךס לוכה רבעמ( לכל )תויעבה 2.25 (0.57) 2.47 (0.65) 2.23 (0.62) 2.32 )8.44( תוחולהמ הלאה םילוע המכ םיאצממ םיאצמנש המילהב המ.ונרעישש רשפא תרל יכ תויעבה ה תויתרגש וספתנ תושק תורגמו תויעבהמ.תויתרגשה דוע טלוב יכ תוכרעה ישוקה רגהו ויה תוהובג בב ןורתפה,יאמצעה ויהשמ םיבב.םירחאה בב ה תוברועמ םידימלתה ןורתפב התייה ההובגה.ב ףסונ ךכ הארנ יכ םיסופדה ולבקתהש םימוד ל תויעבב תויתרגשה תויעבבו,תויתרגש ה םג תמרב ישוקה םגו תמרב.רגה ידכ אדוול םידימלתהש ולידבה תמר" "ישוקה תמר"ל,"רגה ונקדב םימאתמה יגוריד תומר ישוקה יגורידל תומר.רגה םניא םימאתמה םיהובג הפוצמהמ םיענו ל רח ןכמ ונישע חותינ םינתשמ-בר )repeated measures MANOVA( ובו םינתשמה תויתרגש" "המישמה,תיתרגש( )תיתרגש ב"ו "יוסינה האירק(,דבלב ןורתפ,יאמצע ןורתפ )ךרדומ ויה םינתשמה.םייולת-יתלבה םינתשמה םייולתה ויה הלא ונרציש יגורידל תומר ישוקה.רגהו תצותה תוגצומ חולב.5

53 תפיסת המושגים 'קושי' ו'אתגר' בבעיות מתמטיות שגרתיות ולא שגרתיות 43 Multivariate Tests a Effect Value F Hypothesis df Error df Sig. Partial Eta Squared Between Intercept Pillai's b Subjects Trace Within time Pillai's b Subjects Trace novelty Pillai's Trace b time * Pillai's b novelty Trace a. Design: Intercept ;Within Subjects Design: time + novelty + time * novelty b. Exact statistic כפי שאפשר לראות, בניתוח רב-משתנים נמצאו אפקטים עיקריים מובהקים ינטראקציה מובהקת. בניתוחי השונות שבצענו לאחר מכן נמצאו הבדלים בדירוגי הקושי בין הבעיות השגרתיות לבעיות הלא שגרתיות: הערכת הקושי הייתה גבוהה יותר בבעיות הלא שגרתיות. אותו הדפוס התקבל גם ; F 26.39, p בדירוג האתגר האתגר דורג גבוה יותר בבעיות הלא שגרתיות )קושי: , 72 אתגר: 0.01.) F 34.49, p 1, 72 גם שלב הניסוי )מידת המעורבות( השפיע על דירוגי הקושי והאתגר של הבעיות:. F,4.72 p התלמידים דירגו את רמת הקושי קושי: 0.01 ; F 14.23, p אתגר: , 144 2, 144 והאתגר כגבוהים באופן משמעותי בשלב הניסוי השני, שבו הם התבקשו לפתור את המשימה בכוחות עצמם ומת השלב הראשון, שבו הם רק קראו את המשימה )01.>p לכל השוה( או ומת שלב השלישי, שבו ההערכה נעשתה אחרי שהוצג להם הפתרון על-ידי המורה n.s( לכל השוה(. האינטראקציה בין שגרתיות הבעיה לב הניסוי נמצאה מובהקת רק כשהמשתנה התלוי היה רמת ns אתגר: ; F 7.42, p הקושי, קושי: , 144 2, 144 1,. F השות נחשבו קשות יותר בשלב הניסוי השני, שבו המעורבות של התלמידים בפתרון הייתה הגבוהה ביותר )05.>p( ולא היה הבדל בין שלב 1 לב 3 שבהם מידת המעורבות שלהם הייתה נמוכה יותר.)n.s( דפוס זה מתבטא באופן בולט יותר בבעיות הלא שגרתיות )ראו תרשים 1(. כלומר, אם הבעיה אינה שגרתית ובעלת גוון חידתי, היא קשה ביותר כאשר התלמידים מתבקשים להתמודד עמה בעצמם.

54 58 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי time Difficulty - Familiar Difficulty - Novel מחקר זה בחן בפעם הראשונה את נקודת מבטם של תלמידים בסוגיית האתגר והקושי הנתפס של בעיות מתמטיות הנבדלות זו מזו במידת השגרתיות שלהן. בדרך כלל נמצאו ממצאי המחקר בהלימה עם השערותינו. מצאנו כי בעיות מתמטיות לא שגרתיות, שיש להן אופי חידתי, נתפסו קשות יותר וגם מאתגרות יותר בעיני התלמידים מבעיות שגרתיות. עוד ראינו כי כאשר מידת המעורבות של התלמידים במשימה רבה ביותר )בשלב השני שבו הפתרון היה עצמאי(, הערכת הקושי והאתגר היו גבוהים יותר יחסית למצבים שבהם רמת המעורבות הייתה נמוכה יותר )קריאה בלבד או פתרון מודרך על-ידי המורה(. נוסף על כך, ראינו כי רק בהקשר של תפיסת הקושי הבעיות הלא שגרתיות נתפסו קשות מהבעיות השגרתיות בשלב הפתרון העצמאי. ומת זאת, בשני שלבי הניסוי האחרים לא היה הבדל מובהק בין תפיסת הקושי של הבעיות השגרתיות ללא שגרתיות. ממצא זה לא התקבל בעבור משתנה האתגר, ויש וב ולבחון זאת בעתיד. המחקר מרמז על כך )ויש להעמיק בכך במחקרים נוספים( ששות לא שגרתיות בעלות גוון חידתי עשויות להעלות את עניין התלמידים בלימודי המתמטיקה. יש הלימה של הממצא ה עם הטענות של קוני )2001 Cooney, של( פיהן אי אפשר לפתח אצל התלמידים עניין במתמטיקה רק בעזרת משימות שגרתיות. במובן זה תוצאות המחקר מרמזות על החשיבות שבשילוב משימות לא שגרתיות בשיעורי המתמטיקה בבית-הספר ובהכשרת פרחי הוראה, וזה בניגוד למה שמעדיפים מורים למתמטיקה בשדה.(Leikin & Levav-Waynberg, 2007)

55 תפיסת המושגים 'קושי' ו'אתגר' בבעיות מתמטיות שגרתיות ולא שגרתיות 51 עם זאת יש לזכור כי המחקר נבדק בקרב אוכלוסייה ממוקדת )דוברי ערבית בדרום הארץ( ובמדגם קטן )שלוש כיתות בלבד(. במובן זה המחקר ה גישושי בלבד, והממצאים ההולמים את השערותינו מחזקים את הצורך לבחון את הדברים בקרב אוכלוסייה רחבה יותר ובמדגם גדול בהרבה. Applebaum, M., & Leikin, R. (2007). Teachers' conceptions of mathematical challenge in school mathematics. In J. H. Woo, H. C. Lew, K. S. Park, & D. Y. Seo (Eds.), Proceedings of the 31 st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 9-16). Seoul: PME. Ball, D. L., Hill, H. C., & Bass, H. (2005). Knowing mathematics for teaching: Who knows mathematics well enough to teach third grade, and how can we decide? American Educator, 29(1), 14-17, 20-22, Barbeau, E., & Taylor, P. (Eds.). (2009). Challenging mathematics in and beyond the classroom: The 16th ICMI study. Boston, MA: Springer-Verlag. Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Charles, R., & Lester, F. (1982). Teaching problem solving: What, why and how. Palo Alto, CA: Dale Seymour. Cooney, T. J. (2001). Considering the paradoxes, perils, and purposes of conceptualizing teacher development. In F. L. Lin & T. J. Cooney (Eds.), Making sense of mathematics teacher education (pp. 3-31). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Guberman, R., & Leikin, R. (2013). Interesting and difficult mathematical problems: Changing teachers' views by employing multiple-solution tasks. Journal of Mathematics Teacher Education, 16(1), Jaworski, B. (1992). Mathematics teaching: What is it? For the Learning of Mathematics, 12(1), Jaworski, B. (1994). Investigating mathematics teaching: A constructivist inquiry. London: Falmer Press. Kazemi, E. (1998). Discourse that promotes conceptual understanding. Teaching Children Mathematics, 4(7), Krainer, K. (2001). Teachers growth is more than the growth of individual teachers: The case of Gisela. In F. L. Lin & T. J. Cooney (Eds.), Making sense of mathematics teacher education (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Leikin, R. (2004). Towards high quality geometrical tasks: Reformulation of a proof problem. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th International Conference for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp ). Bergen: Bergen University College. Retrieved from Leikin, R., & Levav-Waynberg, A. (2007). Exploring mathematics teacher knowledge to explain the gap between theory-based recommendations and school practice in the use of connecting tasks. Educational Studies in Mathematics, 66,

56 52 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי Polya, G. (1973). How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton, NJ: Princeton University Press. Powell, A. B., Borge, I. C., Fioriti, G. I., Kondratieva, M., Koublanova, E., & Sukthankar, N. (2009). Challenging tasks and mathematics learning. In E. J. Barbeau & P. J. Taylor (Eds.), Challenging mathematics in and beyond the classroom (pp ). Boston, MA: Springer. Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando, FL: Academic Press. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowing growth in teaching. Educational Researcher, 5(2), Simon, A. M. (1997). Developing new models of mathematics teaching: An imperative for research on mathematics teacher development. In E. Fennema & B. Scott-Nelson (Eds.), Mathematics teachers in transition (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Steinbring, H. (1998). Elements of epistemological knowledge for mathematics teachers. Journal of Mathematics Teacher Education, 1(2), Stillman, G., Cheung, K., Mason, R., Sheffield, L., Shiraman, B., & Ueno, K. (2009). Challenging mathematics: Classroom practices. In E. J. Barbeau & P. J. Taylor (Eds), Challenging Mathematics in and beyond the classroom (pp ). Boston, MA: מארק

57 'ישוק' םיגשומה תסיפת 'רג'ו תויתרגש ו תויתרגש תויטמתמ תויעבב 53.א םיטרפ םיישיא י םשה : ינא ןב / תב ת/דמול התיכב י ןויצה הקיטמתמב :.ב וזיאב הדימ ה םיכסמ לכ דחא ןמ םיטפשמה הלאה? רפסמ םידגיה םיכסמ דמ םיכסמ לכ ךכ םיכסמ ללכב םיכסמ.1 ינא חילצמ עוצקמב הקיטמתמה.2 ינא ןיינעתמ עוצקמב הקיטמתמה.3 ינא לבוס תדרחמ םינחבמ הקיטמתמב.4 ינא בה רותפל םיליגרת הקיטמתמב.5 ינא שיגרמ האנה ירועישב הקיטמתמה.6 ינא דחופ עוצקממ הקיטמתמה.5 ינא דימת ןיכמ ירועיש תיבה הקיטמתמב.0 ינא השקתמ עוצקמב הקיטמתמה.3 ינא ליעפ ירועישב הקיטמתמה

58 54 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב ונמס x-ב תולאש תמר רוגה תמר ישוקה רגמ רגמ טעמ רגמ רגמ דמ השק יד השק השק השק דמ ךרד 3 םכינפ תודוקנ וריבעה 4 םיעטק.דבלב שי תושעל ז ילב םירהל.םכנורפע םידלי וצר רובעל רשג רשאכ וב תינמז רשגה ויה םילוכי תכלל 2-מ.םידלי היה ךושח דמ היהו םהל סנפ דחא דבלב ןיא( עונל ילב.)סנפ םידליה ויה רשוכב ינפוג הנוש ולכיו רובעל רשגה םינמזב :םינוש A דלי 1-ב,הקד B דלי 2-ב,תוקד דלי C 5-ב תוקד דליו D 18-ב.תוקד שי ריבעהל לכ םידליה דצל ינש רשגה 15-ב תוקד.דבלב דציכ ושעת?ז וננובתת םכינפ הרדסב ומיהו :הלבטה רפסמ תודוקנה העיפומש הרוצב :םוקמב ןושארה ינשה ישיה ישימחה 05-ה N-ה ךיא רשפא ןגטל 3 תוכיתח "לצינש" הקדב יצחו ךכ חפנש תבחמה 2 תוכיתח לכל ה לכו דצ ךירצ יצח הקד?ןוגיטל

59 ק 1 תפיסת המושגים 'קושי' ו'אתגר' בבעיות מתמטיות שגרתיות ולא שגרתיות 55 בחנות מסוימת יש ארבעה סוגים של ב ק"ג ב- 83. "ג ב גר' ב גר' מהו המחיר ול ביותר בקניית לפניך 2 משוים: קופסאות קפה: ק"ג קפה? מצא פי כמה גדול שטח המשו האחד מהאחר. אפיון של משימה מאתגרת במתמטיקה )של המורים( 41=N בעיות אינטגרטיביות בעיות הדורשות חשיבה לוגית פתרון בעיות בדרכים אחדות בעיות חקר וגילוי בעיות לא שגרתיות בעיות הדורשות הכללה הוכחת טענות חדשות בעיות הדורשות בניות עזר מציאת טעויות פרדוקסים בעיות הדורשות בעיות ובהן פרמטרים ידע שאינו נכלל בתכנית הלימודים הממוצע

60 56 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי ממים בין רמות הקושי לרמות האתגור Total_CH1 Total_CH2 Total_CH3 Total_DF1 Total_DF2 Total_DF3 Total_CH1 Total_CH2 Total_CH3 Total_DF1 Total_DF2 Total_DF3 Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N

61 "הרסחה הילוחה" םיכרעל ךוניחב - יטמתמה ןפה 55 םירפסמ םייעבט םיווהמ דחא םיאשונה םייזכרמה תינכתב םידומילה ןגב רפסה-תיבבו.ידוסיה רפסמה יעבטה שמשמ רפסמכ הנומ ךכבו רשפאמ רידגהל הלדוג הצובק רפסמכו,רדוס רשפאמה רידגהל םמוקמ יסחיה םיטקייב,םינוש ומכ םג.םירפסמ םירקוח םינוש ודדומתה ןויסינה הל ךילהת תוחתפתה עדיה םידלי םיטביהה םינושה רפסמה ו רשקה.םהיניבש תרטמ רקחמה יחכונה התייה תונעל :הלאשה המ םיעדוי םידלי,ןגב םימה לדוג תוצובק ינעדי" ןורקיעה "ילנידרקה סחי רדסה?תוצובק רקחמה ללכ 56 םידלי םייגב,6-4 רשא ונחבנ,קדבמב הנבנש ךרוצל רקחמ. עדי םידליה קדבנ תמרב יוהיז תמרבו.הקפה ולבקתהש םיאצממה םיעיבצמ ךילהתש ךכ תוחתפתה עדיה,םידלי סחי רדסה,תוצובק חתפתמ :הגרדהב הליחת םידמול םידלי תול לדוג.תוצובק רח,ןכמ םידלי םיעדוי ימ הצובקה הנטקה/הלודגה מ יתש תוצובק תובקוע םיעדויו רדסל תוצובק ףצרב יפ-.ןלדוג,ךשמהב םידלי םידמול תוושהל יתש לדוג תוצובק תובקוע ידי- הפסוה תדרוהו תומכ דחא ךשמהבו םידמול יכ שרפהה לדוג תוצובק תובקוע אוה.דחא ומכ,ןכ אצמנ םידליש הליחת םימ תונורקע הלא רחו ןכמ םיאטבמ םיקיפמו עדיה.םמצעב,ףסונב ולבקתהש םיאצממה םיעיבצמ תשיכרש ךכ ןורקיעה,ילנידרקה טבמה הנבה רפסמה יעבטה רידגמכ לדוג,הצובק תחתפתמ,הליחת ךא תללוכ ןפב ינבמ הנבה תונורקע סחי רדסה.תוצובקה עדי חתפתמ רחמ הגרדהב ךלהמב תונש,ןגה ךא וניא םייתסמ.וב םיאצממל הלא תוכה תיינב תוינכת םידומיל םיאשונב הלא ןגב ומכ םג תוכה הרשכהה הכרדההו םיקסועה ךוניחב יטמתמ ןגב תורגסמבו ךוניח.דחוימ תולימ :חתפמ ןורקע ;ילנידרק טביה יתומכ ;רפסמה טביה ירודיס ;רפסמה תלטמ ןת" ;"יל תלטמ רומא" המכ."שי

62 50 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב תרגסמב ידומיל הקיטמתמה ןגב רפסה-תיבבו ידוסיה םידימלת םידמול תצובק םירפסמ הנוכמה םירפסמ.םייעבט םירפסמה םייעבטה םנה םימ םירפסמ םייבויח,1(,2 3 םהילאש )המודכו ףרטצמ םג רפסמה.ספא םירפסמ הלא םישמשמ היינמל רודיסלו,ןמרפוק(.)2811 שומישה רפסמב יעבטה יכרוצל היינמ רשפאמ רית תומכ,הנותנ הרדגה לדוג הצובק,הנועו תומש תועצמאב רפסמה,הנומה הלאשה םיטקייב המכ שי הצובקב,המגודל( שמח תוירכוס.)הספוקב הרטמב ראתל,רדס רפסמה קפסמ עדימ,ירודיס דדוקמ ומוקמ יסחיה טקייבה הצובקב הרודס םיטקייב הנועו הלאשה "ימ" "יא",המגודל( דליה ישיה.)הרושב ףצרב םירפסמה לכ רפסמ,ןייצמ ידי- חנומ דחא דחאו,דבלב וזיא איהש תומדקתה,המגודל( רפסמ 4 ינפל רפסמ 5 רפסמו 5 ינפל רפסמ.)6 ףצר םירפסמה רשפא ראתל תועצמאב םירפסמה םהש,םירדוסה ודעונש םירפסמ ןייצל םוקימ רביא :הרדסב,ןושאר,ינש ישי ןכו.הה,ןורקיעב עדימ ירודיס וניא לבגומ תרדסל םירפסמה אוהו ףתושמ תורדסל,תוירפסמ ןוגכ ישדוח הנשה תוית,תיב-ףלאה תורדסבש א גוסמ הלוכי תויהל הדרפה תומכ רדסל ךכ( המגודל היירטמיגב ןיא תובישח םוקמל תביתכ תה הלימב א הכרעל.)ירפסמה תמועל,ז רשקהב םירפסמה םייעבטה תויועמשמ הלא תורשוקמ תחא :היינשב לככ תומכהש הילאש סחייתמ רפסמה,הלדג ומוקימ ףצרב םירפסמה קוחר. ךכ לבקתמ ףצר,םירפסמ ןייפמה שרפהב עובק דחא םירפסמה םיבקועה.)Ben, 2003( הניחבמ,תיטמתמ הקיטמתיראה תנעשנ תועמשמה תרדוסה תועמשמהו הנומה,רפסמה רפסמהו רדוסה לוכי שמשל רידגמכ רפסמה הנומה.ךפהלו,ןכל םהינשש תורמל םייחרכה הקיטמתיר םוש ןיא רבסה יגול ססובמ תחא הפדעהל תויועמשמה היינשה,לסאר(,1383 ךותב.)Brainerd, 1974,םל תדוקנמ טבמ תיתוחתפתה יכילהת הבישח הנבהו תירפסמ שי ןוחבל דציכ שכרנ חתפתמו עדיה רפסמה הנומה ו רפסמה.רדוסה םאה תונבות םיטביה הלא רפסמה תוחתפתמ תושכרנו וב תינמז תחאהש המידקמ?היינשה םאה תלוכיה ריכהל לדוגב הצובק,תללוכ ןפב,ינבמ םג הנבה סחי רדסה לדוג.תוצובק רמולכ םאה תלוכיה ןייצל הלדוג הצובק תלוכיהו ןייצל יכ יתש תוצובק ( ) תונוש ןלדוגב,הדיעמ,חרכהב המויק הנבהה הצובקבש תחא שי םימצע רשאמ הצובקב,תרחאה סחי רדס לדוגה תוצובק ו תויקוחה תנייפאמה סחי רדסה ז( רשקב תויקוחה תנייפאמה תרדס םירפסמה.)םייעבטה רקחמב יחכונה קוסענ תולאשב.הלא ועצבתהש םינוש םירקחמ םירושעב םינורחאה םיעיבצמ,םידולי ךכ המודב יבל םייח,םירחא םייק רשוכ,דלומ וניאש ןעשנ תולוכי,הפש דוביעל תויומכ יוהיזו רדס ( Butterworth, 1999,.)2000; Dehaene et al., 2004; Henik et al., 2012 אצמנ יכ םידולי ינב רפסמ םישדוח םימ םיניחבמו םילדגב םינוש,תוצובק ןפב,ינדמ ז רשאכ לדבהה תוצובקה אוה תוחפל סחיב.1:2 ךכ המגודל תוקונית םיחילצמ ןיחבהל תומכ 4 םימצע ל תומכ 0 םימצע

63 מי לפני מי? רכישת עקרונות רצף קבוצות בקרב ילדי הגן 53 אך לא בין כמות של 4 עצמים ובין 6 עצמים )2009 al.,.)brannon, ;2002 Izard et כמו כן, תינוקות מזהים שינויים מסוג של הוספה והפחתה של כמויות על אוסף עצמים נתון )1992.)Wynn,,1990 במהלך תקופת הילדות, ידע זה מתרחב, תוך הישענות על יכולות שפה, באופן שנוצר קשר בין גודל קבוצות ליחס סדר של גודל קבוצות ומספרים. בין גיל שנתיים לוש שנים ילדים לומדים שמות של המספר המונה )אחד, שניים, שלוש וכדומה(, רצפים שלהם )1992 )Fuson,,1988 ובהמשך רוכשים ידע על שמות המספר הסודר )ראשון, שני, שלישי וכדומה( )2000 al.,.)miller et בעקבות התנסויות במנייה, ילדים מגלים עקרונות שונים, העומדים בבסיס פעולת המנייה. הילדים חושפים את עקרון הסדר הקבוע של שמות המספרים, את עקרון החד-ערכיות בין שם המספר לכמות העצמים הנמנים, את העדר החשיבות של סדר מניית העצמים ת העיקרון הקרדינלי. כלומר, הגילוי כי לקבוצת האיברים שמונים יש שם כולל וכי שם המספר האחרון הנאמר במניית האיברים ה השם הכולל וה מייצג את גודל הקבוצה )1978 Gallistel,.)Gelman & גלמן וגלסטל ( & Gelman )Gallistel, 1978 טוענים כי עקרונות ה קיימים אצל ילדים באופן אינטיטיבי מובנה, וכי השימוש בהם מוביל להבנת הקשר שבין שמות המספרים וערכם הכמותי. לטענתם, ביטוי לתובנה זו אפשר למצ בתשובה ה: "כמה יש" task(,)the how many הנשת בתום פעולת המנייה )לדוגמה, הילד מונה שורה של קוביות והבוחן שו "כמה קוביות יש בשורה?"(. אופן התשובה ה זו משקף, לדעתם, את התפתחותה או היעדר התפתחותה של התובנה על העיקרון הקרדינלי. ילדים שלא הגיעו לתובנה זו לא יקשרו בין שם המספר האחרון ובין הגודל הכולל של קבוצה וימנו שוב את האיברים שבאוסף, ילו ילדים, אשר רכשו את העיקרון הקרדינלי, יציינו את גודל הקבוצה Briars & Siegler, 1984; Condry & Spelke, 2008; ( ומתם, יש חוקרים.)Gelman, 1993( Wynn, 1990 )Kamawar et al., 2010; Sarnecka & Carey, 2008; התומכים ברעיון כי ההבנה של העיקרון הקרדינלי נבנית בהדרגה לאורך הילדות וכי אפשר למדוד ולהעריך תהליך זה באמצעות משימה מהסוג של "תן לי" task( )The Give-N )לדוגמה, הבוחן מבקש מהילד "תן לבובה 2 כדורים"(. בעקבות מחקרים שהתבססו על משימה זו, נמצא כי תהליך רכישת העיקרון הקרדינלי מתרחש בהדרגה, מהרמה שבה ילדים אינם מבחינים כלל בין כמויות וכאשר מתבקשים לתת כל כמות הם נותנים חופן של עצמים. ילדים הנמצאים ברמה זו מכונים "ידעני קדם-מספר" pre-number-(.)knower בהמשך יימצאו ילדים, אשר טרם רכשו את המספר הקרדינלי, אך נמצאים בתהליך רכישתו. ה מכונים "ידעני תת-הקבוצות" knowers(.)subsets כאן נמצא לדוגמה, את "ידעני האחד" level(,)"one"-knower כה שייתנו חפץ אחד כאשר יתבקשו לתת "אחד", אך ייתנו יותר משני חפצים כאשר יתבקשו לתת "שניים". כך בהדרגה יתפתחו "ידעני השניים", "ידעני השלוש" ו"ידעני הארבע". בסופו של תהליך, מהכמות "חמש", מתרחש שינוי איכותי בהבנה, במובן שהילד מכליל את הרעיון של המספר הקרדינלי ומסוגל להים כמות לכל מספר המבוקש. ילדים הנמצאים בשלב זה מכונים ידעני "העיקרון הקרדינלי" CP-Knower( )Cardinal-Principle-Knowers, Hurewitz et al., 2006, Le Corre et al., 2006, Le Corre & Carey, 2007; Lipton & Spelke, (.)2006

64 68 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי קונדרי וספלק )2008 Spelke,,)Condry & מצאו כי רק ילדים, אשר הגיעו לב של הבנת העיקרון הקרדינלי יודעים כי הוספה של עצם לאוסף, פירושה גם התקדמות ברשימת שמות המספרים וכי הורדה של עצם מהקבוצה, פירושה נסיגה ברשימת שמות המספרים. סרנקה, קרוטי וקרי ( Sarnecka, Carey, 2005 )Cerutti & מצאו כי חלק מהילדים, אשר הגיעו להבנת המספר הקרדינלי הבינו גם את הרעיון של התקדמות בסדר המספרים. למיטב הידע טרם נערך מחקר, אשר בדק את הקשר שבין הבנת העיקרון הקרדינלי והבנת יחס הסדר של גודל קבוצות. בנושא זה עניינו של המחקר הנוכחי. המחקר והידע על היבטים קוגניטיביים וההתפתחותיים, הקשורים בידע על יחס סדר של גודל קבוצות מצומצם. מבחינה מבנית, קיימת טענה כי במח האנושי קיים אזור ייחודי יבוד מידע הקשור ברצפים של קבוצות ומספרים 2006( al., )Turconi & Seron, 2002; Turconi, et מבחינה התפתחותית, מחקרים בילודים מצביעים על כך שהיכולת להבחין בסדר של קבוצות מופיעה בתקופה שבין גיל של שבעה חודשים לאחד עשר חודשים. זאת במובן של יכולת הבחנה של ילודים בין גדלים שונים של קבוצות הנתונות ברצף 2008( Brannon,.)Picozzi et al., 2010; Suanda, Tompson & בשלב מתקדם יותר מתפתחת תפיסה פנימית של סדר, הקשורה בהתפתחותם של יכולת ההבחנה, כישורים וניים ויכולת הדמיה. באופן כללי, הרגישות לסדר נשענת על ניסיון תפיסתי של "סדר נראה וגלוי ין". כלומר, בעקבות התנסות יום יומית, קונקרטית של יחסים טרנזיטיביים א-סימטריים, כגון מצבים של גבוה מ... ארוך מ... וכדומה. באופן ספציפי, ההבנה לגבי סדר של קבוצות מתפתחת בעקבות טרנספורמציות שמתרחשות על כמויות בסביבתם של הילדים, כגון במצבים של הוספה או הפחתה של כמויות. בעקבות התנסויות כה ילדים מפתחים הערכה ותובנה לגבי ההשלכות של השינויים הללו על גודל הכמות )הוספה יותר/הפחתה פחות(. תובנות ה אינן תלויות בשימוש בשפה, בשליטה בסמלי המספרים או בידיעת המנייה ( 1993; Changeux, Cooper, 1984; Dehaene & Noel, 2012.)Brannon, 2002; Colome & על-פי פיאז'ה 1965(,)Piaget, הבנה של סדר המספרים מפשרת הודות להתפתחותה של יכולת הסדירה והחשיבה הטרנסיטיבית. יכולות ה מתפתחות, כאשר ילדים נמצאים בשלב האופרציות הקונקרטיות )גיל 12-5(. בשלב זה ילדים מסוגלים לסדר אובייקטים לפי סדר מסוים, לדוגמה כאשר ילדים מתבקשים לסדר מספר מקלות באורכים שונים מהקטן לגדול. בעוד שילדים בשלב האופרציות הקונקרטיות מסוגלים לוף את המקל הקצר ביותר ז את הקצר ביותר מבין הנותרים וכן הלאה, ילדים בשלב הקדם-אופרציונלי אינם מסוגלים לבצע משימה זו. על-פי פיאז'ה )1965,)Piaget, יכולת הסדירה מאפשרת גם חשיבה טרנסיטיבית, כלומר יכולת לזהות יחס בין שני אובייקטים לפי היחס הקיים בין כל אחד מהם לבין אובייקט שלישי. לדוגמה, אם 5 קטן מ- 6 וגם 6 קטן מ- 5 אז מכאן ש- 5 קטן מ- 5. בעוד שבשלב הקדם-אופרציונלי ילדים מנסים להים סדר רך מספרי, אך לא מסוגלים לחשוב על שניהם בו זמנית, הרי שבשלב האופרציות הקונקרטיות מתקיימת המה והפיכות בין סדירה ומנייה וילדים מבינים את הקשר שבין הערך המספרי והסדר. מושג המספר, על-פי פיאז'ה )1965,)Piaget, נבנה על בסיס סנתזה בין שני סוגים של

65 מי לפני מי? רכישת עקרונות רצף קבוצות בקרב ילדי הגן 61 יחסים מנטליים: הכללה היררכית וסדר. במסגרת המחקר הנוכחי, התפתחות של יחסים ה בתקופה הקדם-אופרציונלית בגן. תהליך את לבחון ניסיון נעשה על-פי טול )2001,)Tall, כדי להבין את הרעיון של סדר המספרים, באופן פורמלי, יש להכיר מספר עקרונות: )1( יש להתחיל לספור מהמספר 1 שה אינו מספר עוקב; )2( לכל מספר צריך להיות "המספר הבא" מספר עוקב; )3( ההתקדמות באחד יוצרת את קבוצת המספרים הטבעיים הפרש של 1 בין מספרים עוקבים; )4( אפשר להגיע לכל המספרים מנקודת ההתחלה; )5( ישנו יחס סדר, שבו אפשר להשוות שני מספרים טבעיים ולקבוע מי מהם גדול יותר. במחקר הנוכחי נבחן ידע של ילדים בגן על עקרונות ה. המידע המוצג כאן מצביע על קשר שבין התפתחות הידע וההבנה של גודל קבוצה ובין התפתחות הידע על יחס סדר של גודל קבוצות. אך מעט ידוע על האופן שבו מתפתח הידע על יחס סדר זה, כבסיס להבנת סדר המספרים ועל הקשר שבין התפתחות הידע על גודל קבוצות ובין הידע על יחס הסדר של גודל קבוצות. במחקר הנוכחי נעשה ניסיון להרחיב את יריעת הידע בנושאים ה. בחינת הידע הנדרש התבצעה בקרב ילדים בגן, בשתי קבוצות גיל: צעירים ובוגרים, בהקשר של ארבעה נושאים הקשורים ביחס הסדר של גודל קבוצות: )1( השוה בין קבוצות על-פי גודל; )2( סידור קבוצות על-פי גודל, בסדר עולה; )3( יצירת שוויון בין שתי קבוצות עוקבות; )4( הוספה והורדה של אחד; )5( מציאת הפרש בין קבוצות עוקבות. נושאים ה נבדקו ברמת זיהוי וברמת 1 הפקה. המחקר בחן את השפעתם של שלושה גורמים על רמת הביצוע: גיל, סוג משימה וסוג מטלה. ההשערה לגבי הגיל טענה שרמת הביצוע של הבוגרים תהיה גבוהה יותר מרמת הביצוע של הצעירים. ההשערות לגבי סוג המשימה וסוג המטלה טענו שרמת הביצוע הגבוהה ביותר תהיה במשימה 1 והנמוכה ביותר תהיה במשימה 5 ושמטלות זיהוי קלות ממטלות הפקה. במחקר השתתפו בסך הכול 56 נבדקים משתי קבוצות גיל: צעירים ובוגרים. קבוצת הצעירים עד גיל חמש, מנתה 25 נבדקים )גיל ממוצע 45.2 חודשים וסטיית תקן 2.5( וקבוצת הבוגרים עד גיל שש, מנתה 23 נבדקים )גיל ממוצע 53.5 חודשים וסטיית התקן 2.2(. הנבדקים היו משלושה גנים עירוניים, שנדגמו באופן אקראי, ממרכז הארץ, מהחינוך הרגיל מרם הממלכתי. התלמידים דוברי עברית ברמת שפת אם, משכבה סוציו-אקונומית בינונית. בגנים ה היו עוד חמישה ילדים, אשר 1. לצורך הבחנה בין בדיקת ידע בנושאים השונים לבין בדיקת ידע ברמות הביצוע השונות )זיהוי ומת הפקה(, נעשה במאמר שימוש בשני מונחים: משימות מתייחסות לבדיקת ידע בנושאים השונים; מטלות מתייחסות לבדיקת ידע ברמות הביצוע השונות.

66 62 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב צוה ןמ םגדמה רחאמ םהו הנש וראשנש םידלי תפסונ ןגב ויהו מ חווט עבקנש םייגה.רקחמב השו םידלי םיפסונ צוה ןמ םגדמה רחאמ ורדגוהו ידליכ ךוניחה.דחוימה ילכ רקחמה בכרומ השומ :םיקלח קלח 'א תומישמ :םדק ותרטמ קודבל עדי,שרדנ יאנתכ עוציבל תולטמה תויזכרמה.קדבמה קלח ש ללכ :תומישמ עדי הריפס דע,18 עדי עצבל המאתה תיכרע-דח-דח תומכ םימצע ו תומש םירפסמה דע תומכל 5,םימצע תוחפל תרכהו יגשומ,לדוג תומכ.בחרמו תומישמה וקדבנ תמרב.הקפה קלח 'ב ןורקיעה :ילנידרקה ותרטמ קודבל םאה םידליה ושכר ןורקיעה.ילנידרקה תקידב עדי התשענ תועצמאב יתש :תומישמ תמישמ רומא"ה המכ "שי,)Gelman & Gallistel, 1978) תמישמ ןת"ה "יל.)Sarnecka & Carey, 2008( תומישמה ןהש יפכ תועיפומ לצא םירקוח הלא ועצבתה תמרב הקפה דבלב וליאו רקחמב ןה ונחבנ תמרב יוהיז תמרבו.הקפה קלח 'ג קדבמ עדי רדס תוצובק סחיו לדוגה.ןהיניב תומישמה קדבמב ונבנ דחוימב ךרוצל,רקחמה חורב תונורקעה ןייצש לוט )Tall, 2001( תומישמהו וחתיפש הקנרס יראקו Sarnecka & (,)Carey, 2008 רשקהב תקידב עדי תונורקע רדס.םירפסמ תיתשתכ תנבהל תונורקע רדס םירפסמה וללכ תומישמה קדבמב תקידב עדי עבראב םיאשונ םייטנוולר תנבהל סחי רדס לדוג :תוצובק )1( האוושה תוצובק יפ- ;לדוג )2( רודיס תוצובק יפ-,לדוג רדסב ;הלוע )3( תריצי ןויווש יתש תוצובק ;תובקוע )4( הפסוה הדרוהו ;דחא )5( יצמ שרפה תוצובק.תובקוע תומישמ הלא וקדבנ תמרב יוהיז תמרבו.הקפה תומישמב תומרב יוהיז ושקבתה םיקדבנה םאה טילחהל הבושתה הגצוהש םהינפב המיאתמ,המיאתמ וליאו תומישמב תמרב הקפה ושקבתה םיקדבנה ןייצל )קיפהל( םמצעב.הבושתה ר.1 הלבט הנחבהה תומר,עדיה יוהיז תמועל,הקפה תומישמב,תונושה הקדבנ תועצמאב הכרעה םיטפוש םירדגומה םיחמומכ םוחתב.רקחנה ינש םיצרמ הללכמב תרשכהל,םירומ םידמלמה םיאשונ םינוש רוהב הקיטמתמה ליגב ךרה רפסה-תיבו,ידוסיה ושקבתה ןייצל יבגל לכ,המישמ םאה איה תקדוב עדי םידלי תמרב יוהיז תמרב.הקפה המכסהה םיטפושה התייה.36% המרב

67 מי לפני מי? רכישת עקרונות רצף קבוצות בקרב ילדי הגן 63 נושאי המבדק חלק א: משימות לבדיקת ידע קודם נדרש חלק ב: משימות לבדיקת ידע של העיקרון הקרדינלי חלק ג: משימות לבדיקת ידע על יחס סדר של גודל קבוצות המשימה ספירה לפנים המה חד-חד-ערכית בין כמות ובין שם המספר. מונחי גודל, סדר ומרחב "תן לי " "אמור כמה יש" השוה בין קבוצות על-פי גודל סידור קבוצות שוויון בין קבוצות הוספה והורדה של 1 הפרש בין קבוצות עוקבות המטלה הפקה הפקה הפקה זיהוי הפקה זיהוי הפקה זיהוי הפקה זיהוי הפקה זיהוי הפקה זיהוי הפקה זיהוי הפקה מטרה לבדוק זכירה של רצף המספרים. לבדוק יכולת המה חד-חד-ערכית בין כמות העצמים לבין שם המספר. הכרת מונחים נדרשים לביצוע משימות המבדק. זיהוי רמת הידע של העיקרון הקרדינלי. זיהוי ידע של העיקרון הקרדינלי. הבחנה בין גודל של שתי קבוצות: איזה קבוצה גדולה/קטנה. בדיקת ידע על סידור קבוצות על-פי גודלן בסדר עולה. בדיקת ההבנה שהשות גודל בין שתי קבוצות עוקבות מתבצעת על-ידי הוספה או הורדה של כמות של אחד. הבנה שהתקדמות ברשימת המספרים מייצגת הוספה של פריטים לקבוצה ונסיגה ברשימת המספרים מייצגת הפחתה של פריטים מהקבוצה. הבנת כיווניות. יצירת קבוצה חדשה. מצב דינמי. הבנת עקרון ההפרש של אחד בין קבוצות עוקבות. ציינון: כל משימה נבדקה באמצעות שלוש חזרות, כדי למנוע אפשרות של תשובת "ניחוש". על כל משימה נקבע ציון דיכוטומי של ידע )1( / לא ידע )8(. אי ידיעה נקבעה בעקבות שני כישלונות רצופים. הציון הסופי למשימה חושב על-ידי אחוז ההצלחה שבה. ההחלטה לגבי הצלחה או אי-הצלחה במשימה נקבעה על-ידי שני עוזרי מחקר, סטודנטים שנה ג' במכללה להכשרת מורים. עוזרי המחקר קיבלו הסבר מקיף על מטרות המחקר ועל הליך הביצוע של המטלות, קיבלו הדרכה אישית וצפו בביצוע המבדק על-ידי עורך המחקר על חמישה נבדקים. ס"מ. קוביות: בכל אחת מהמשימות שנעשה בהן שימוש בקוביות, נבחרו קוביות בצבע אחד ושונה, זאת כדי להימנע מהאפשרות שילדים יצמידו ערכים מספרים לצבעים מסוימים. כל הקוביות היו בגודל של 11 כרטיסיות: הכרטיסיות שונות היו כרטיסיה בכל התמונות ס"מ 10 8 של בגודל היו תכנים של ירקות או פירות )חסה, בצל, גזר, תפוח אדמה(. בובות: בובות דובי בגודל של ס"מ. קופסאות: קופסאות פלסטיק לבנות אטומות בגודל של והכילו 10 כ כ- 5 5 ס"מ )ראו נספח 2(.

68 64 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב ינפל עוציב רקחמה ולבקתה םירושיאה םישרדנה לכמ םימרוגה :םיברועמה לבקתה רושיא ןמ ןעדמה ישארה דרשמב,ךוניחה ןתינ רושיא תחקפממ זוחמה הלבקתהו המכסה,בתכב ירוהמ םידליה םתופתתשה.רקחמב לכ דחא םיקדבנהמ ןחבנ ןפב ינטרפ רדחב.דרפנ םיקדבמה וכרענ ינשב,םישגפמ לכ שגפמ ךרא 28 תוקד.ךרעב רדס תשגה תולטמה עצבתה ןפב :אבה לכ םיקדבנה וליחתה קדבמה תולטמ םדקה רדסב :עובק תקידב עדי,הריפסב המאתהב תיכרע-דח-דח םש רפסמה תומכהו המיאתמה תקידבו עדי.םיחנומ ךשמהב לכ םיקדבנה ועציב תומישמה תוקדובה עדי ןורקיעה.ילנידרקה ידכ עונמל היטה רדס תשגה תומישמה תמר,עוציבה רמשנ ןוזיא רקובמ רדס תשגה תומישמה ןהש ךכ ושגוה םיקדבנל רדסב.ףלחתמ רשאב,תומישמל קדבמה ירקיעה עדי( סחי רדס לדוג,)תוצובק רדס םתרבעה עבקנ ןפב יארקא רמשנו עובק רובעב תיצחמ תצובקמ,םיקדבנה לכב תחא תוצובקהמ תוצובקב ליגה.תונושה םותב תרבעה קדבמה תיצחמל םיקדבנהמ,הצובקב רחבנ ןפב יארקא רדס,הנוש הרבעה רשא רמשנ עובק רובעב תיצחמה היינשה.הצובקה לכב,הלטמ ןחובה ריהבה קדבנל.המישמה תוליעפה הנושארה התוויה תמישמ"."םומיח הדימב קדבנהו ה שרדנה ןחובה ריבסה בוש שיגהו בוש הת.המישמ קר רח הרהבוהש,הארוהה ךישמה ןחובה תומישמב הת.הלטמ קדבמ קלח א קדבמ :םדק לכש אצמנ םידליה ועציב ןוכנ תומישמ םדקה טעמל וקדבש תומישמ עדי יחנומ רדס ינש(.)ישיו תומישמב הלא 65%-ש אצמנ ןמ םידליה 52%( ןמ םירגובה 62%-ו )םיריעצהמ ונע ןוכנ תומישמ 21%.הלא ןמ םידליה 15%( ןמ םירגובה 25%-ו )םיריעצהמ וכנ ןהב 12%-ו ןמ םידליה 13%( ןמ םירגובה 11%-ו )םיריעצהמ ועדי תונעל ןפב.יקלח תקידבב רשקה ליג םידליה ל תמר עדיה יחנומ,רדסה אצמנ לדבה קהבומ תוצובק.ליגה רחאמ שומישהו יגשומב רדסה ינש( )ישיו ושרדנ ןפב רישי תויחנהב ו וויה םיגשומ םייחרכה,תובושתב םג םידלי א וחילצה תומישמב הלא וללכנ יקדבנ.רקחמה ךכיפל ךרוצל םוכיס םיאצממה קלח רשפא רמול לכ םידליה ופתתשהש יוסינב התייה תיתשת,עדי השורדה ךרוצל תופתתשה תקידבב תומישמה תוקדובה תנבה ןורקיעה ילנידרקה ו תומישמ.רדסה קדבמ קלח ב קדבמ עדי ןורקיעה :ילנידרקה עדי קדבנ תועצמאב יתש :תומישמ תמישמ רומא"ה המכ "שי תמישמו ןת"ה."יל םיאצממה ולבקתהש ועיבצה ךכ יתשבש 188% תומישמה,םידליהמ יתשב תוצובק,ליגה וחילצה יתשב,תומישמה תמרב יוהיז תמרבו.הקפה םיאצממה הלא םידיעמ תנבה ןורקיעה ילנידרקה ברקב לכ.םיקדבנה

69 ?ימ ינפל ימ ןגה ידלי ברקב תוצובק ףצר תונורקע תשיכר 65 קדבמ קלח ג קדבמ עדי סחי רדס לדוג :תוצובק תקידב עדיה סחי רדס לדוג תוצובק התשענ הקיזב השל :םימרוג גוס הלטמה יוהיז(,)הקפהו גוס המישמה האוושה( תוצובק יפ-,לדוג רודיס,תוצובק ןויווש,תוצובק הפסוה,דחא הדרוה 1 שרפהו תוצובק )תובקוע תצובקו ליג םיריעצ(.)םירגובו ךרוצל תקידב תעפשה גוס הלטמה תעפשהו ליגה תמר עוציבה תומישמב תונושה ונחבנש רקחמב וכרענ יחותינ תונוש םיינוויכ-וד )Two-way ANOVA( תודידמ :תורזוח תצובק ליג,)םירגוב/םיריעצ( X גוס הלטמ,)הקפה/יוהיז( רשאכ גוסב הלטמה ויה תודידמ.תורזוח הנתשמה יולתה היה תמר עוציבה דדמנש יפכ.םיזוחאב ולבקתהש םיאצממה וגצוי ינשב תוחול :םידרפנ הלבט 2 הגיצמ םיעצוממה תויטסו ןקתה לכב המישמ יפ- תצובק,ליג גוס הלטמ תצובקו X ליג גוס הלטמ הלבטו 3 הגיצמ ולבקתהש תצותה יחותינב.תונושה םיעצוממה םיגצומ םג םישרתב רפסמ.1 תומישמ כ"הס ליג כ"הס הלטמ כ"הס ליג יוהיזב כ"הס ליג הקפהב םיריעצ )N=27( םירגוב )N=29( יוהיז הקפה םיריעצ םירגוב םיריעצ םירגוב האוושה תוצובק עצוממ ת.ס רודיס תוצובק עצוממ ת.ס ןויווש תוצובק עצוממ ת.ס הדרוה עצוממ ת.ס הפסוה 1 עצוממ ת.ס שרפה עצוממ ת.ס

70 66 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב ןפב,יללכ םיעצוממה תויטסו ןקתה וגצוהש הלבטב 1 םישרתבו 1 םיעיבצמ ךכ תמרש עוציבה תצובקב םירגובה ההובג דמ לכב,תומישמה טעמל המישמב שרפה,1 ןה תמרב עוציבה ןהו תמרב הקפהה הבורקו.188%-ל,םתמועל תמר עוציבה םיריעצה הכומנ הענו 55% 05%-ל ההובגו תולטמב יוהיז תמועל תולטמ.הקפה ז טעמל תמישמ וושה תוצובק ןהבש תמר עוציבה התייה ההובג דמ ןה תמרב יוהיזה ןהו תמרב הקפהה 35%(.)ךרעב הלטמה שרפה 1 האצמנ השקכ ב יתשב תוצובק ליגה תמר החלצהה הת יתשב תוצובק ליגה.45% םיאצממה ולבקתהש יחותינב תונושה עגונב תעפשהל ליגה תעפשהלו גוס הלטמה תמר עוציבה םיגצומ הלבטב.3

71 מי לפני מי? רכישת עקרונות רצף קבוצות בקרב ילדי הגן 65 F של גיל X מטלה ד"ח 1.54 F של מטלה ד"ח 1.54 F של גיל ד"ח 1.54 משימה 3.21* סידור השוה * שוויון *** הורדה 4.13* 0.32** 13.31*** הוספה *** 2.50 הפרש P<.05* p<.01** p<.001*** - לא ניתן לבצע ניתוח שונות כיוון שהממוצעים היו זהים במטלות יהוי וההפקה עיון בטבלה 2 ובטבלה 3 מלמד על הממצאים הבאים: מטלת סידור קבוצות: התקבל אפקט מובהק של גיל, אשר נובע מכך שרמת הביצוע של קבוצת הבוגרים גבוהה מזו של קבוצת הצעירים. לא התקבל אפקט מובהק של מטלה ולא של אינטראקציה בין גיל וסוג מטלה. מטלת השות גודל קבוצות: לא התקבלו אפקטים מובהקים של גיל, סוג מטלה, ולא של אינטראקציה בין גיל וסוג מטלה. שוויון בין קבוצות: התקבל אפקט מובהק של גיל, אשר נובע מכך שרמת הביצוע של קבוצת הבוגרים גבוהה מזו של קבוצת הצעירים. לא התקבל אפקט מובהק של מטלה ולא של אינטראקציה בין גיל וסוג מטלה. הורדה של 1: התקבל אפקט עיקרי מובהק של גיל אשר נובע מכך שרמת הביצוע של קבוצת הבוגרים גבוהה מזו של קבוצת הצעירים. לא התקבל אפקט מובהק של מטלה ולא של אינטראקציה בין גיל וסוג מטלה. הוספה של 1: התקבל אפקט עיקרי מובהק של גיל אשר נובע מכך שרמת הביצוע של קבוצת הבוגרים גבוהה מזו של קבוצת הצעירים. כמו כן, התקבל אפקט מובהק של מטלה שנובע מרמת ביצוע גבוהה יותר במטלות יהוי מזו של הפקה, בנוסף התקבל אפקט מובהק של אינטראקציה בין גיל וסוג מטלה. לצורך פירוש האינטראקציה נעשו קונטרסטים שהשוו את רמת הביצוע בין שתי קבוצות הגיל בכל סוג מטלה. במטלה יהוי, רמת הביצוע של הבוגרים )ממוצע= וס.ת.= ( הייתה גבוהה יותר מזו של הצעירים )ממוצע= וס.ת.= ( כאשר ההבדל היה כמעט מובהק (0.06>P,2.06=(54)t) במטלות ההפקה רמת הביצוע של הבוגרים )ממוצע= וס.ת ( הייתה גבוהה מזו של הצעירים )ממוצע= וס.ת.= (, (0.001>P,3.49=(54)t). ממצאים ה מראים כי ההבדל בין הקבוצות בולט יותר במטלות ההפקה ומת מטלות יהוי אשר באופן יחסי קלות יותר. הפרש של 1: התקבל אפקט עיקרי מובהק של מטלה אשר נובע מכך שרמת

72 60 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי הביצוע במטלת זיהוי קלה יותר ומת מטלת ההפקה. לא התקבל אפקט מובהק של גיל ושל אינטראקציה בין גיל ובין מטלה. היעדר אפקט גיל נובע מרמת הקושי הגבוהה במטלה זו בשתי קבוצות הגיל. לצורך בדיקת השפעת סוג המשימה והגיל על רמת הביצוע בשני סוגי המטלות נערכו ניתוחי שונות דו- כיווניים עם מדידות חוזרות קבוצת גיל )צעירים / בוגרים(, X סוג משימה )סידור, השוה, שוויון, הורדה, הוספה, הפרש( כאשר בסוג המשימה היו מדידות חוזרות. המשתנה התלוי היה רמת הביצוע 5 מציגה את התוצאות 4. טבלה כפי שנמדד באחוזים. הממוצעים וסטיות התקן מוצגים בטבלה שהתקבלו בניתוחי השונות. F של מטלה F של גיל X מטלה F של גיל מטלה ד"ח 1,258 ד"ח 1,258 ד"ח *** 0.38*** זיהוי 4.15*** 05.05*** 12.52*** הפקה במטלות יהוי וההפקה נמצא אפקט עיקרי של סוג משימה ולא נמצאה איטראקציה מובהקת בין משימה לבין גיל. כדי לבחון את מקורות ההבדלים בין שש המשימות ברמות הביצוע השונות, נערך מבחן בונפרוני )השוות מרובות( ברמת מובהקות של התוצאות שנמצאו בניתוח זה מסוכמות בטבלה 4. בוגרים הפרש < מכל השאר הפרש < מכל השאר מטלה זיהוי הפקה צעירים הפרש < מכל השאר הפרש < הוספה, הורדה < השוה, סידור ושוויון לסיכום, נמצא כי במטלת זיהוי משימת ההפרש קשה יותר מכל המשימות האחרות בשתי קבוצות הגיל. במטלת ההפקה, משימת ההפרש קשה יותר מכל המשימות האחרות רק אצל הבוגרים. ומת.2 הסימן < משמש כאן במשמעות של קשה מ... באופן מובהק.

73 ?ימ ינפל ימ ןגה ידלי ברקב תוצובק ףצר תונורקע תשיכר 63,ז לצא םיריעצה צמנ שו תומר :ישוק )1( שרפה השק ;ב )2( הפסוה ;הדרוהו )3(,ןויווש האוושה רודיסו תולק. ותרטמ רקחמה יחכונה התייה ןוחבל הלאשה המ םידלי,ןגב רשא ועיגה המרל ינעדי" ןורקיעה "ילנידרקה,)cardinal-principle-knowers( םיעדוי ףצר תוצובק ו סחי לדוגה.ןהיניב ןיינעה הלאשב וז עבונ ןמ החנהה יכ עדי תונוכת ףצר תוצובק הווהמ תיתשת תנבהל תונוכת רדס אוהש םירפסמה דחא םיאשונה םיבושחה דומילל םיאשונ םינוש םייטמתמ ןגב רפסה-תיבבו.ידוסיה ולבקתהש םיאצממה רקחמב יחכונה םיכמות םירקחמב םירחא Colome & Noel, 2012; Le Corre ( )& Carey, 2007; Sarnecka, & Carey, 2008 םיעיבצמה םידליש ךכ ליגב 4 םנה ינעדי" ןורקיעה,"ילנידרקה רמולכ הלאכ םיעדויה רידגהל לדוג.תוצובק םל,ףסונב רקחמה יחכונה עיבצמ ךכ םידליש הלא םיעדוי םג תוושהל לדוג תוצובק ןפב,קיודמ ןייצל ימ מ יתש תוצובק תונותנ,ףצרב הלודג הנטק םבורו םיעדוי רדסל תוצובקה רדסב.הלוע,ז אצמנ ינעדי"ש ןורקיעה "ילנידרקה הצובקב הריעצה דע( ליג )שמח םיאצמנ בב תשיכר עדי רושקה ןייפאמב סחי רדסה.תוצובקה ךכ,המגודל קר 08%-כ םהמ ועדי המ רשפא תושעל ידכ הצובקש עברא םיטקייב היהת ומכ הצובק השימח םיטקייב.ךפהלו ז תמועל תצובק םירגובה דע( ליג,)6 םיעדוי תוושהל יתש תוצובק.תובקוע רשאב יצמל שרפהה עובקה יתש תוצובק,ףצרב ולבקתהש םיאצממה םיכמות רקחמב עיבצמה עדיש ךכ חתפתמ רחמ, רקל ליג 5 התיכ(,)'ב ךא דחי,ז םיאצממה םיעיבצמ דעש דועבש ךכ ליג 5 בור םידליה םניא םיעדוי ןורקיע, ירה ליג 5 ליגל 6 25%-כ םידליהמ רבכ ושכר עדי. אצממ עיבצמ ךכ תישארש תוחתפתה עדיה שרפהה עובקה תוצובק תובקוע אב ידיל יוטיב תפוקתב ליג.וז ףסונ,ךכ רקחמ ףשוח ךילהת יתגרדה ףצר יתוחתפתה רשקהב תשיכר עדי סחי רדס.תוצובק ףצר יתוחתפתה עיבצמ :םיב השו םמויק הליחת םיעדויש םידלי תול לדוג תוצובק םיעדוי םג תול ימ מ יתש תוצובק תובקוע הלודג הנטק, םיעדוי רדסל תוצובקה רדסב הלוע םיעדויו יכ רשפא תוושהל יתש תוצובק תובקוע ידי- הפסוה הדרוה הדיחי.תחא בב םדקתמ, תחתפתמ הנבה תעפשה תלועפ הפסוהה הדרוההו תומכ,דחא תומכ.הנותנ םידלי םיניבמ יכ תולועפ הלא תומרוג הלדגהל הנטקה הצובקה תומדקתהלו הגיסנ ףצרב.םירפסמה תמר ישוקה הלודגה ב הלבקתה תומישמב ןהבש םידליה ושקבתה אוצמל שרפהה תוצובק.תובקוע בצמ אטבמ בה רחמה הנבהב סחי רדסה תוצובק תובקוע לככו הארנה םג הנבהב סחי רדסה.םירפסמ ףצרה יתוחתפתהה לבקתהש רקחמב יחכונה עיצמ,השעמל רית תוחתפתה עדיה,ילמרופה סחי רדסה גיצמש,םירפסמ לוט.)Tall, 2001(,םנמא רקחמב,יחכונה תומישמה תונושה וכרענ תועצמאב תויומכ תוגציימה לדוג.תוצובק,םל בורב תומישמה םידליה ר תויומכה לדוגו הצובקה ראות תועצמאב םש.רפסמה,ךכיפל רשפא קיסהל יכ עוציב ןוכנ תומישמה דיעמ תלוכיה דליה

74 58 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב רשקל םש רפסמה לדוגל אוהש.גציימ,ןאכמו רשפא חינהל יכ בצמ הווהמ השעמל הילוח רקל תנבה תונורקע תויקוח סחיב רדסה.םירפסמ הילוח וז הגיצמ רבעמה רשקהו תונבותה,תוחתפתמה לצא,םידלי סחי רדסה תוצובק תובקוע ל תונבותה םה סחי רדסה םירפסמ םיגציימה תוצובק.הלא המרב,תיטרתה עדימה לבקתהש ןאכ קזחמ הנעטה ךכ עדיהש טביהה יתומכה הצובקה וניא חתפתמ ןפב ינטלומיס עדיה רדס,תוצובקה א םדקומ.ול תוחתפתה הנבהה תונורקע סחי רדסה הנה תרחמ תכשוממו, רבעמ ליגל.ןגב רחאמ רקחמהו יחכונה עצבתה תוצובק ליג ןהבש דצמ,דחא זוחא החלצהה תומישמב תובר היה,הובג ןכלו היה רשפא בוקעל ןפב ןדועמ רחא תישאר םתוחתפתה םיכילהתה םירושקה עדיב רדס תוצובק.םירפסמו רחא דצמ אצמנ יכ תשיכר עדיה םיאשונב ורקחנש תמייתסמ תפוקתב ליג,ןגה שרדנ רקחמ ךשמה ידכ ןוחבל תישאר ותוחתפתה עדי םייגב םיריעצ ו,וכשמה םייגב םירגוב. רשאב הנחבהל התשענש רקחמב, תומר עדיה יוהיז( תמועל,)הקפה הלוע יכ םימייק םילדבה תמרב עוציבה תומישמ יוהיז תמועל תומישמ.הקפה,םל הלא םיאב ידיל יוטיב קר רשאכ תשיכר עדיה ןיידע.המוה םירקמב הלא תולטמ תמרב יוהיז תולק תמועל תולטמ תמרב.הקפה םיאצממ הלא םיעיבצמ תובישחה תיגולודותמה שיש הנחבהב וז תעב עוציב םירקחמ םייתוחתפתה ילככ תלבקל עדימ טרופמ קיודמו ךילהתה יתוחתפתהה.רקחנה,םוכיסל רשפא רמול יכ םיאצממה ולבקתהש שי םהב ידכ ךופשל ר ךילהתה גרודמה תוחתפתה עדי םידלי םיריעצ אשונב סחי רדס.תוצובק,ףסונב לבקתהש עדימה עיבצמ םירשקה םידליש םישוע ליגב ןגה עדי ו הנבהה סחי רדסה ש.םירפסמ עדימל תוכה תוב תובישח הבר רשקהב ןונכת תוינכת םידומיל הדובעהו םידלי ליגב.ךרה ומכ ןכ,תוכה םג יכילהת הרשכה הכרדהו םיקסועה יטמתמ ךוניחב ליגב ךרה הלאכו םידבועה םידלי םישקתמ םיקוקזה תמהל תויתשת עדיה.יטמתמה רקחמ ךמתנ ידי- הדעווה דודיעל םירקחמ תללכמב יקסניול ךוניחל ידי-ו תדעו רקחמה -ה תיתללכמ ןוכמב.ת"פומ

75 מי לפני מי? רכישת עקרונות רצף קבוצות בקרב ילדי הגן 51 קופרמן, ר' )2811(. מתמטיקה של בית ספר יסודי: לגלות מחדש, להבין, ללמד ולאהוב. תל-אביב: מעלות. Ben, A. U. (2003). Ordinal-Cardinal view: From natural numbers to classifiers. Linguistic Society of Hong Kong, 12(6), Brainerd, C. J. (1974). Inducing ordinal and cardinal representations of the first five natural numbers. Journal of Experimental Child Psychology, 18, Brannon, E. M. (2002). The development of ordinal numerical knowledge in infancy. Cognition, 83(3), Briars, D., & Siegler, R. S. (1984). A featural analysis of preschoolers counting knowledge. Developmental Psychology, 20(4), Butterworth, B. (1999). The mathematical brain. London: Macmillan. Butterworth, B. (2000). What counts: How every brain is hardwired for math. London: The Free Press. Colome, A., & Noel, M. P. (2012). One first? Acquisition of the cardinal and ordinal uses of numbers in preschoolers. Journal of Experimental Child Psychology, 113(2), Condry, K. F., & Spelke, F. S. (2008). The development of language and abstract concepts: The case of natural number. Journal of Experimental Psychology: General, 137(1), Cooper, R. G. (1984). Early number development: Discovering number space with addition and subtraction. In C. Sophian (Ed.), Origins of cognitive skills (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Dehaene, S., & Changeux, J. P. (1993). Development of elementary numerical abilities: A neuronal model. Journal of Cognitive Neuroscience, 5(4), Dehaene, S., Molko, N., Cohen, L., & Wilson, A. J. (2004). Arithmetic and the brain. Current Opinion in Neurobiology, 14, Fuson, K. C. (1988). Children s counting and concepts of number. New York: Springer-Verlag. Fuson, K. C. (1992). Research on whole number addition and subtraction. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan Publishing Company. Gelman, R., & Gallistel, C. R. (1978). The child's understanding of number. Cambridge, MA: Harvard University Press.

76 52 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי Gelman, R. (1993). A rational-constructivist account of early learning about numbers and objects. In D. L. Medin (Ed.), The psychology of learning and motivation: Advances in research theory (Vol. 30, pp ). San Diego: Academic Press. Henik, A., Leibovich, T., Naparstek, S., Diesendruck, L., & Rubinsten, O. (2012). Quantities, amounts, and the numerical core system. Frontiers in Human Neuroscience, 5, 186. Hurewitz, F., Papafragou, A., Gleitman, L., & Gelman, R. (2006). Asymmetries in the acquisition of numbers and quantifiers. Language Learning and Development, 2(2), Izard, V., Sann, C., Spelke, E. S., & Streri, A. (2009). Newborn infants perceive abstract numbers. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 106(25), Kamawar, D., LeFevre, J. A., Bisanz, J., Fast, L., Skwarchuk, S. L., Smith-Chant, B., & Penner- Wilger, M. (2010). Knowledge of counting principles: How relevant is order irrelevance? Journal of Experimental Child Psychology, 105(1-2), Le Corre, M. G., Van de Walle, G., Brannon, E. M., & Carey, S. (2006). Re-visiting the competence/performance debate in the acquisition of the counting principles. Cognitive Psychology, 52(2), Le Corre, M., & Carey, S. (2007). One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles. Cognition, 105(2), Lipton, J., & Spelke, E. (2006). Preschool children master the logic of number word meanings. Cognition, 98(3), Miller, K., Major, S. M., Shu, H., & Zhang, H. (2000). Ordinal knowledge: Number names and number concepts in Chinese and English. Canadian Journal of Experimental Psychology, 54(2), Piaget, J. (1965). The child s conception of number. New York: W. W. Norton. Picozzi, M., de Hevia, M. D., Girelli, L., & Macchi Cassia, V. (2010). Seven-month-old infants detect ordinal numerical relationships within temporal sequences. Journal of Experimental Child Psychology, 107(3), Sarnecka, B. W., & Carey, S. (2008). How counting represents number: What children must learn and when they learn it. Cognition, 108(3), Sarnecka, B. W., Cerutti, A., & Carey, S. (2005). Unpacking the cardinal principle of counting: A last-word rule + the succesor function. Poster presented at 4th biennial meeting of the Cognitive Development Society, San Diego, CA. Suanda, S. H., Tompson, W., & Brannon, E. M. (2008). Changes in the ability to detect ordinal numerical relationships between 9 and 11 months of age. Infancy, 13(4), Tall, D. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics, 48(2),

77 מי לפני מי? רכישת עקרונות רצף קבוצות בקרב ילדי הגן 53 Turconi, E., & Seron, X. (2002). Dissociation between order and quantity meaning in a patient with Gerstmann syndrome. Cortex, 38(5), Turconi, E., Campbell, J. I. D., & Seron, X. (2006). Numerical order and quantity processing in number comparison, Cognition, 98, Wynn, K. (1990). Children s understanding of counting. Cognition, 36(2), Wynn, K. (1992). Children s acquisition of the number words and the counting system. Cognitive Psychology, 24,

78 54 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב.1 ןחובה גיצהל ומצע ו תרטמ :קדבמה...ימש ונחנאו קחשנ דחיב םיקחשמ םירושקש.םירפסמב בושח ןייצל ינפב דימלתה יכ אוה לוכי שקבל תושעל הקספ קיספהל ללכב תוליעפה.תפתושמה.2 לכב,תומישמה תוליעפה הנושארה הבש הווהמ תוליעפ" "םומיח ןבומב איהש הרומא ריהבהל דליל שרדנה הרומאו תתל ןחובל דליהש עדימ ןכא ה.הבש היחנהה ןכל שי רוזחל תוליעפה הנושארה דליהש דע עצבמ הת.ןוכנ.3 יפ- תמר עוציבה תוליעפב הנושארה לכב המישמ,ןכו תובקעב תומשרתהה ןחובה ךרו,קדבמה שי ףיסוהל דירוהל לדוג תומכה חווט םירפסמה.תויוליעפב.4 שי דעתל תובושתה דימלתה המרב עדי / עדי ראתלו ךילהת.עוציבה תויחנה תרבעהל קלח :ב תונומת תרבוח תכירכ.הלריפס ןחובה חיני תרבוחה לומ דימלתה שקביו ונממ עיבצהל הנומתה המיאתמש אוהש חנומל לאשנ.וי ןחובה רובעי דימלתה לכ תרבוחה,םיימעפ לכבו פ לאשי חנומ.רחא,המגודל פ לאשי זוורבה לודגה פבו האבה זוורבה.ןטקה רח ןחובהש םייס קודבל תיצחמ,הצובקה הנשי ןחובה רדס תליאש םיחנומה םא( ליחתה העבצהב זוורבה,לודגה הנשי ליחתיו העבצהב זוורבה.)ןטקה תויחנה תרבעהל קלח :ג חווט םירפסמה תומישמב תונושה ענ 1.5-ל ןחובה לוכי יפ- ותומשרתה תמרמ דוקפתה,דליה לוקיש ליעפהל תעד יאב חווט םירפסמ ליחתהל לכ.המישמ םא דליה העוט המישמב חווטב םירפסמ ןותנ,םיימעפ שי תתל הת המישמ חוטב םירפסמ ןטק רפסמב דחא א( םא קדובה תמרש םשרתמ עדיה דליה הכומנ.)

79 ?ימ ינפל ימ ןגה ידלי ברקב תוצובק ףצר תונורקע תשיכר 55 לכב תומישמה ןיא תרהל דליל תויומכה םיטירפה תונומתב תומכ.תויבוקה ז רחאמ םידליו םילוכי תונעל תולאשה יפ- הארמ םייניע לדוג תומכה ו יפ- הנבה לדוג.הצובקה,ןכל תומישמב תונושה היחנהה היהת ךופהל תויסיטרכה סינכהל תויבוקה.תספוקל,ז ידכ רוציל דליב ןומא ןכותב תויוליעפבו תוראותמה ידי-,ןחובה שי תרהל דליל ףוסב המישמה הנושארה תונומתה תויסיטרכב תויבוקה.הספוקב ךא ןיא ךישמהל תרהלו ןת.ךשמהב תרוהב,קדבנל םוקמב תויחנהה קדובה בתכנ רוציקב.'ב םא דליה ליחתמ :רופסל :קדובה ינא הארא ךל המל :הנווכה,דחא,שו,םייתש וישכע ה.רופסת םא דליה עדוי רופסל רופסיש םישקבמ דע.28 םא דליה,העוט רופסיש םישקבמ דע 5 דע.עדויש המכ :'ב םאה ה עדוי?רופסל :'ב רופסת 1-מ דע.18 :'ב רופסת 1-מ דע.28.1 הריפס םינפל חול 6 םיקקפ חול 11 םיקקפ חול 4 םיקקפ - םא דליה עדוי םיגיצמ חול 11.םיקקפ - םא דליה עדוי םיגיצמ חול 4.םיקקפ םיגיצמ דליל חול הרוש 6 םיקקפ םיווש םיחוורב :םישקבמו :'ב הנמת/רופסת םיקקפה.2 המאתה -דח תיכרע-דח תומכ םש ו רפסמה ינש הנומת םיזוורב םילדגב םינוש סחיב 1:3 םא ןחובה םשרתמ קדבנהש עיבצה ןפב ימתס ו ןווכמ חנומל שי רוזחל הקידבה,בוש חנומה רח םייסש.תרבוחה לודג/ןטק :'ב תונומתב שי.םיזוורב עיבצת הנומתה זוורבה.לודג/ןטקה.3 םיחנומ יתש הנומת תספוק 3 םיחרפ הנומתו 3 םיחרפ םא דליה מ היחנהה רשפא תונשל :חוסינה הפיא שי הברה םיחרפ.המודכו טעמ/הברה :'ב תונומתב שי.םיחרפ עיבצת הנומתה שיש הב טעמ/הברה.םיחרפ

80 56 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב 2 תונומת תולוכשא םיבנע תוחפ/ :'ב תונומתב שי.םיבנע עיבצת הנומתה שיש הב טעמ/הברה.םיבנע 3 תונומת תספוק ספי'צ סחיב 1:3 תויומכה יכה /הברה יכה טעמ :'ב שי הנומתב תספוק.ספי'צ עיבצת שיש הנומתה הב יכה יכה/הברה טעמ.ספי'צ הנומת 3 תוחתפמ סחיב 1:3 תונומתה יכה יכה/לודג ןטק לודג ןטק/ב ב :'ב עיבצת חתפמה לודגה ןטקה/ב.ב הנומת תויח רותב תותשל.םימ רותה ליחתמ ןאכ ןחובה( עיבצמ הרעקה הנממ ותשי.)םימ שי חינהל ילכ ןטק )קקפ( לכימכ םימל יחנומ :רדס,ןושאר ינש,ישי,ןורחא :'ב עיבצת התשתש היחה /הנושאר תישי/הנורחא.היינשו הרעק 15 תויבוק עבצב דחא תבוב.בנרא בנראה הצור 4 תויבוק ןחובה ןתונ 4 הצור 3 ןתונ 3 הצור 4 ןתונ 5 הצור 2 ןתונ 3 הצור 5 ןתונ 5 הצור 2 ןתונ 2 :'ב קחשנ בנראה.תויבוקב ינא דיגא המכ תויבוק בנראה הצור ינאו ן ול.תויבוק ה דיגת םאה יתתנ בנר המ.שקיבש תלאש :הקידב המכ תויבוק בנראה?הצור םאה יתתנ בנר?שקיבש המ.4 תמישמ ןת" יל " יוהיז הרעק 15 תויבוק עבצב דחא תבוב בנרא בנראה הצור 3 תויבוק 5,1,4,,5,2 תויבוק :'ב וישכע ינא דיגא המכ תויבוק בנראה הצור הו ןתית ול קוידב.שקיבש המכ ןת" "יל הקפה הרעק : 15 תויבוק בנרא הציחמ הספוק המישמה הנושארה תשמשמ ךרוצל ןומיא הפוסבש רשפא תרהל דליל תויבוקה.הספוקב ראשב תומישמה םיארמ דליל תויבוקה 5,3,5,2 :'ב קחשנ.תויבוקב שי ןאכ ךסמ וירוחאמו הספוק םיארמ( דליל.)הספוקה ינא םישא תויבוק הספוקב רופסא/הנמאו םת.לוקב ה דיגת המכ יתמש תויבוק.הספוקב :'ב חקול תויבוק,הרעקהמ הנומ לוקב םשו.הספוקב :לאוש המכ תויבוק שי?הספוקב.5 רומא" המכ "שי יוהיז תוחול תויבוק.תוקבדומ לכ חול תומכה תשרדנה.היינמל תיפמ ריינ.הקד דליהש ידכ הי תומכ תויבוקה הרוצב,גניזיטיבס שי תוסכל תויבוקה תיפמב ריינ,הקד רשא תשטשטמ טעמ יוהיזה ידימה תומכ םיחינמ תיפמ הקד תויבוק.הרושב :'ב רופסת/הנמת תויבוקה דיגתו המכ תויבוק שי.הרושב רומא" המכ "שי הקפה

81 ?ימ ינפל ימ ןגה ידלי ברקב תוצובק ףצר תונורקע תשיכר 55.תויבוקה המישמה הנושארה תשמשמ םג ךרוצל.ןומיא,ןכל הפוסב רשפא תרהל דליל תומכ.תויבוקה ראשב תוחולה םיארמ דליל תומכה 5,5,4,3 2 תובוב בנרא תויסיטרכ תונומת תוריפ תוקריו תויומכב תומיאתמה שרדנל המישמב המישמב הנושארה )דבלב( שי תרהל דימלתל םירויצה הנומתב רח הנעש ידכ( תמ ינפב דליה ריתה.)ילולימה יתש תובוב :םיבנרא תחא הכיס הקורי תחאו הכיס הלוחכ.ןזה קדובה רמ :עיבצמו בנראה ה ( הכיסה,)הלוחכה דמ בה.לוכ,ןכל דימת ןתינ ול.לכ בנראה ה ( הכיסה,הקוריה לכ ךכ בה.לוכ,ןכל דימת ןתינ ול לוכ.תוחפ :'ב ינא ן לכל בנרא.לוכ ה דיגת םאה יתתנ בהש בנר לוכ א / בה,לוכ,תוחפ/.לכ :'ב בנר בהש ה,לוכ ינא ןתונ 3.םירזג ןחובה חינמ היסיטרכ הכופה הנומת 3.םירזג המכ יתתנ?ול בנר א ה בה לוכ ינא ןתונ העברא.םירזג המכ יתתנ?ול םאה בהש בנראה לוכ לביק א בנראהמ בה?לוכ.6 האוושה תוצובק יפ- לדוג יוהיז 2 תובוב םיבנרא תויסיטרכ תונומת תוריפ תוקריו תויומכב תומיאתמה שרדנל המישמב המישמב הנושארה שי תרהל דימלתל םירויצה הנומתב.הנעש רח יתש תובוב :םיבנרא תחא הכיס הקורי תחאו הכיס הלוחכ.ןזה :'ב בנראה ה ( הכיסה,)הלוחכה דמ בה.לוכ,ןכל דימת ןתינ ול.לכ בנראה ה ( הכיסה,)הקוריה לכ ךכ בה.לוכ,ןכל דימת ןתינ ול לוכ.תוחפ ןחובה חינמ ינפל יתש דימלתה תונומת תוכופה :רמו שי ןאכ יתש.תונומת הנומתב וזה שי 3.םינופפלמ הנומתב וזה שי 4.םינופפלמ המכ םינופפלמ שי הנומתב?וזה המכו םינופפלמ שי הנומתב?וזה ןתית בנר בהש לוכ הנומתה שיש הב.םינופפלמ ןתית בנר א בה לוכ הנומתה שיש הב תוחפ.םינופפלמ האוושה תוצובק יפ- לדוג הקפה

82 50 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב תבוב בנרא תויחולצ קיטסלפ תויסיטרכ תונומת תוריפ תוקרי תויומכב 1-מ דע 5 םיפצר תויסיטרכה ןחלושה תבוב.בנראה :'ב בנראה ה דימת ליחתמ לוכ תחלצהמ שיש הב יכה טעמ לכ ךישממו דע שיש תחלצל הב יכה הברה.לכ קדובה רדסמ תויסיטרכה ףצרב םיאתמ תומכהמ הנטקה ףצרב/הלודגל םיאתמ ןפב( )יולג :'ב םאה תוקריה םירדוסמ בנראהש ומכ בה לוכ שיש תחלצהמ הב יכה טעמ לכ דעו שיש תחלצל הב יכה הברה?לכ שי עיבצהל ןוויכ הלחתהה.5 רודיס תוצובק רדסב הלוע יוהיז תויסיטרכ תונומת תוריפ תוקריו תויומכב 1-מ דע 5 יפצר תויסיטרכה קדובה גיצמ דליל 3 תויסיטרכ תויומכ.תובקוע :'ב בנראה הצור.לוכ דימת אוה לכאי םדוק שיש תחלצהמ הב יכה טעמ ףוסבו שיש תחלצה הב יכה.הברה רדסת ול תוקריה ומכ אוהש בה לוכ יכהמ טעמ דעו יכהל הברה.תוקרי * שי ןייצל ןוויכ הלחתהה רודיס תוצובק הקפה הציחמ תויבוק קר המישמב הנושארה םיארמ דליל.םילדגמה ןחובה הנוב םילדגמ ירוחאמ.הציחמ :ב ינא הנוב ינש םילדגמ.תויבוקמ לדגמב יתש תומוק לדגמבו ינשה שו תומוק ריסמ( עגרל הציחמה הארמו דליל םילדגמה ריזחמו.)הציחמה המ תושעל ידכ ינשש םילדגמה ויהי ותב ות/הבוג?רבד םאה ףיסוהל הייבוק תחא יתש םאה/?תויבוק דירוהל הייבוק תחא יתש?תויבוק.0 ןויווש תוצובק יוהיז הציחמ תויבוק ינא הנוב ינש םילדגמ.תויבוקמ לדגמב יתש תומוק לדגמבו ינשה שו תומוק ריסמ( עגרל הציחמה הארמו דליל םילדגמה ריזחמו.)הציחמה המ תושעל ידכ ינשש םילדגמה ויהי ותב ות/הבוג?רבד ןויווש תוצובק הקפה הספוק הסכמ תויומכה : 2,5,1,6,3,5,4 ןחובה חינמ ינפל דימלתה הספוק סינכמו,הכותל,תחא-תחא 4,תויבוק ךות ידכ היינמ.לוקב :'ב ינא םש הספוקב 4.תויבוק רגוס הספוקה :לאושו :'ב המכ תויבוק יתמש?הספוקב םא( דליה,רכוז ןחובה רזוח.)הלועפה :'ב וישכע ינא ףיסומ הייבוק תחא.הספוקל םאה וישכע שי 5 6?תויבוק.3 הדרוה/הפסוה דחא יוהיז

83 ?ימ ינפל ימ ןגה ידלי ברקב תוצובק ףצר תונורקע תשיכר 53 הספוק הסכמ תויומכה : 5,1,6,2,5,3 :'ב ינא םש הספוקב 4.תויבוק רגוס הספוקה :לאושו המכ תויבוק יתמש?הספוקב םא( דליה,רכוז ןחובה רזוח.)הלועפה :'ב וישכע ינא ףיסומ הייבוק תחא.הספוקל המכ תויבוק שי?הספוקב הדרוה/הפסוה 1 הקפה הרעק 15 תויבוק יתש תספוק קר ףוסב המישמה הנושארה םיארמ דליל.תויבוקה םא דליה,העוט םירזוח.המישמ ינש רח תונויכ םידרוי 1 תומכב ינש םיבנרא ןחלושה םדילו יתש.תספוק :'ב בנר ה ינא ןתונ 2 תויבוק בנרו ה 3 תויבוק ןחובה( םש לכב הספוק תומכה המיאתמה ו רשפאמ דליל תרל תומכ תויבוקה )הספוק :לאוש המכ תויבוק יתתנ בנר?ה המכו תויבוק יתתנ בנר?ה םא דליה הנוע,ןוכנ :לאוש ןחובה ימל יתתנ?תויבוק םא דליה הנוע,ןוכנ :לאוש ןחובה םאה בנר ה יתתנ הייבוק תחא יתש תויבוק?.18 שרפה תוצובק תובקוע יוהיז ינש םיבנרא ןחלושה םדילו יתש.תספוק :'ב בנר ה ינא ןתונ 2 תויבוק בנרו ה 3 תויבוק ןחובה( םש לכב הספוק תומכה המיאתמה ו רשפאמ דליל תרל תומכ תויבוקה.)הספוקב :לאוש המכ תויבוק יתתנ בנר?ה המכו תויבוק יתתנ בנר?ה םא דליה הנוע,ןוכנ :לאוש ןחובה ימל יתתנ?תויבוק םא דליה הנוע,ןוכנ :לאוש ןחובה המכ תויבוק שי?ול המכ תויבוק יתתנ?ול שרפה תוצובק תובקוע הקפה

84 08 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב ןורתפ תויעב תוחכוהו דימת וקחיש דיקפת עירכמ.הקיטמתמב,השעמל םה בלה המשנהו הנילפיצסידה.וזה הרתי שומיש,וזמ תוקינכטב תונוש החכוה ותב םוחת יטמתמ םימוחתה םייטמתמה רובעב היעב תיפיצפס,תחא לוכי גיצהל תוירושיקה םימוחת,ולא ומכ םג,רשועה יפויה תויטנגלאהו.הקיטמתמה רמאמב,ה ונא םיגיצמ היעב תירטמג תניינעמ םיגיצמו הרובעב הנומש תוחכוה תונוש ידי- שומיש תוטישב םימוחתמ םייטמתמ.םינוש ומכ,ןכ השענ שומיש הנכותב תירטמג תימניד הרב'גי'ג( )Geogebra התועצמאבש רשפא תוהל הרעשה תינושאר רשאב ןורתפל.היעבה ונא טלחהב םיכמות,ךכב םירומהש וללכי ליגרת הבורמ תוחכוה תוינכתב הארוהה םה.הקיטמתמב דודיע םידימלת עיגהל תצותל םיכרדב תונוש קזחי הכרעהה םה יפלכ,הקיטמתמה ןתיי םהל ץירמת קיפהל םמצעב וליפא תונורתפ םייטנגלא קפסיו םהל תונמדזה עיגהל הנבותל תירוקמ אשונב תוחכוה.הקיטמתמב,סונובכ היעבה הגצוהש הקפיס העתפה המיענ ךכב הנורתפש הליג שלושמ דחוימ תונוכת.תוניינעמ הכהכ ןויסינהמ ונ רמאמב,ה ונא תישארש םינעוט שי מל הליהקהש ךרוצה תיכוניח-תיטמתמה רוצית דוע תויעב תויטנת,תובר ולאכ תומיאתמה יובירל יכרד ןורתפ,תוחכוהו קרו רח ןכמ קודבל רוקחלו תצות םושייה ןה רוהב הקיטמתמ.התדימלבו תויעב תובורמ תונורתפ תווהמ סיסבה ויש יונב סרוקה הנוכמה חותיפ" הבישח "הקיטמתמב תרשכהב יחרפ הארוה הקיטמתמב -תיבל רפסה ידוסי-ה תללכמב.ןנאש ונא חוודנ רקחמ אטוז קדבש תועד םיטנדוטסה ופתתשהש סרוקב תועדו םינוש םיצרמ תוללכמב אשונב שומישה תויעבב תובורמ.תונורתפ תולימ :חתפמ תוחכוה ;הקיטמתמב ןורתפ ;תויעב יוביר תונורתפ ;תוחכוהו תוביבס תוירטמג ;תוימניד תונכות תוירטמג.תוימניד

85 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 01 מטרת המאמר ה היא להראות עד כמה קשורים זה לזה הנושאים המתמטיים השונים הנלמדים בבית- הספר התיכון, ובמיוחד כיצד הגאומטריה האויקלידית מהווה בסיס שעליו בנויים הנושאים של הגאומטריה האנליטית, הטריגונומטריה, תורת הווקטורים והמספרים המרוכבים. כפועל יוצא מכך, מטרת משנה היא לבדוק את אפשרות השימוש בבעיות מרובות פתרונות בדרכים שונות ובאמצעות נושאים מתמטיים שונים בהכשרת מורים במתמטיקה, ובפרט בהכשרת פרחי הוראה במתמטיקה של בית-הספר העל-יסודי. מנקודת מבט פדגוגית-דידקטית, המאמר ה מציג בעיה מתמטית ספציפית, שבמבט ראשון נראה שיש לפתור אותה רק בעזרת גאומטריה אויקלידית. אולם אנו נראה בעקבות כך, שהיא ניתנת לפתרון בעזרת שיטות אחדות נוספות, חלקן גאומטריות חרות מבוססות על שטחים אחרים במתמטיקה. הקיום של ריבוי הוכחות למציאת הפתרון, לא רק מציג לתלמידים את היופי והאסתטיקה של המתמטיקה (2011 Sinclair,,(Dreyfus & Eisenberg, ;1986 א גם מקדם את ההבנה המתמטית של התלמידים על-ידי הצגת חומרים מנקודות מבט שונות. היופי של המתמטיקה מתעצם עוד יותר על- ידי השימוש בתוכנה גאומטרית דינמית Software).(DGS Dynamic Geometry נוסף על כך, הבעיה המוצגת במאמר זה מגלה תוצאה מפתיעה: משו מיוחד עם תכונות מעניינות, שלפי מיטב ידיעתנו, עדיין לא הופיע בספרות המקצועית של המתמטיקה. הוכחות וטיעונים הם אבני יסוד בפתרון בעיות מתמטיות: הם עוזרים לנו לפרש את המתמטיקה, לקשר רעיונות מתמטיים ולהצדיק את תקפותם של משפטים מתמטיים (2005 al.,.(martin et ולם לא ניתן לפקפק בחשיבות ההוכחה במתמטיקה בכלל, ולא במתמטיקה הבית-ספרית בפרט ( & Harel.)Hanna, ;1990 Hersh, )1993 תפקידי ההוכחה הם להוכיח, להסביר וכנע.)Sowder, 2007 סטיליאנידס )2007 )Stylianides, מגדיר הוכחה כ"טענה מתמטית, סידרה קשורה של טיעונים בעד או נגד טענה מתמטית, בעלת המאפיינים הבאים: משתמשת באמרות/משפטים המקובלים על-ידי הקהילה המתמטית )קבוצה של משפטים(, אשר נכונים וניתנים להשגה ללא צורך בהצדקה נוספת..1 משתמשת של בצורות שכילה/הסקת מסקנות הנמקה( של )דפוסים ידועות או תקפות לקהילה.2 הלומדת, או בתחום ההמשגה שלה. מתקשרת אשר טענות( הצעת של )דפוסים ביטוי צורות בעזרת מימות וידועות לקהילה.3 הלומדת, או בתחום ההמשגה שלה" )עמ' 231(.

86 ב" ב" ב" 02 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי לו ומקרורי )2009 McCrory, )Lo & מציעים שכדי להבין פעילויות הוכחה בקורסים מתמטיים, יש להוסיף מנט רביעי להגדרה: 4. ההוכחה מתייחסת לאובייקטים בתוך הקונטקסט )תלויי קונטקסט( הקובעים מה צריך להוכיח. ראב )1999 )Rav, מציין, שהוכחה היא בעלת ערך, לא רק בשל הצגת תוצאה כהי, א גם כי היא יכולה להציג שיטות, כלים, אסטרטגיות ומושגים חדשים בעלי שימוש נרחב יותר במתמטיקה והפותחים כיוונים מתמטיים חדשים. לפי השקפתו של ראב )1999,)Rav, לא ניתן לוותר על הוכחות בהקשר להרחבת הידע המתמטי והן למעשה "הלב של המתמטיקה, הדרך הסלולה ליצירת כלים אנליטיים וזירוז הצמיחה" )עמ' 6(. כפי שראב )1999 )Rav, כותב בתזה שלו: "הוכחות, ומת צורת הניסוח של המשפטים, הן המטען של הידע המתמטי ")עמ' 28(. המי ולופוול )2009 Lofwall, )Hemmi & ביצעו מחקר שבדקו בו השקפות של מתמטיקאים על התועלת בלמידת הוכחות, ובעקבות כך הם הסיקו כי "כל המתמטיקאים במחקר שלהם סברו שהוכחות הן בעלות ערך עבור הסטודנטים, מפני שהן מציעות להם שיטות חדשות, מושגים חשובים והתנסות בחשיבה לוגית הנחוצה בפתרון בעיות" )עמ' 281(. אי לכך, אין זה פלא שפיתוח היכולת של סטודנטים להוכיח ולהפעיל שיקול דעת ה אחת המטרות של הסטנדרטים של תכניות הלימודים בהרבה ארצות. לדוגמה עיקרון אחד במתמטיקה הבית-ספרית בארה"ב ה: "שיקול דעת והוכחה צריכים להיות חלק עקבי בהתנסויות המתמטיות של הסטודנטים, מהגן ועד סוף בית-הספר התיכון".(National Council of Teachers of Mathematics, 2000) למידת מתמטיקה באופן בסיסי אמורה להיות ממוקדת "ברכישת נקודת מבט מתמטית", פיתוח שכילה מתמטית", למידה לתקשר מתמטית", ביצוע קישוריות במתמטיקה" ו"בבניית קשרים עם דיסציפלינות והתנסויות אחרות" 56) p..(national Council of Teachers of Mathematics, 2000, מכיוון שלמידת מתמטיקה עוסקת בגילוי, בהוכחה ובשיקול דעת, ו הן דרכים משמעותיות לפיתוח תובנה, עשיית קשרים וביצוע תקשורת מתמטית. המועצה הלאומית של מורים למתמטיקה )להלן )NCTM מחזקת את העובדה ו בטענה: "להיות מסוגל להפעיל שיקול דעת ה חיוני להבנה" 56( p..)national Council of Teachers of Mathematics, 2000, טענה זו מצביעה על כך שבקיאות בהוכחה מתמטית והפעלת שיקול דעת הם חלק בלתי נפרד של המתמטיקה! בדומה ל- NCTM, חוקרים בולטים בחינוך מתמטי גם טוענים שלא ניתן להמעיט בערך של תפקיד הארגומנטציה וההוכחה בלמידת הסטודנטים, והם תומכים ברעיון של הכללת הנושא ה בתכנית הלימודים הבית-ספרית ובתכניות הכשרה של מורים למתמטיקה. לדוגמה, בול ועמיתותיה 2000( al.,,)loewenberg Ball et דריפוס 2000) (Dreyfus, והנה 1996( )Hanna, תומכים בעמדה ו:

87 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 03 "הוכחה היא מרכזית במתמטיקה וככזו היא חייבת להיות מרכיב מרכזי של חינוך מתמטי. הדגשה זו מוצדקת לא רק כי הוכחה היא בלב הפרקטיקה המתמטית, א גם בגלל שהיא כלי חינוכי לקידום ההבנה המתמטית" 2000( al.,.)loewenberg Ball et דריפוס 2000) (Dreyfus, של בלבה היא "הוכחה כי מציין המתמטיקה, ונחשבת כמרכזית בהרבה תכניות של בתי-הספר התיכוניים". הנה )1336 )Hanna, קובעת ש"הוכחה ראויה למקום בולט בתכנית הלימודים, מפני שהיא ממשיכה להיות סממן בולט של המתמטיקה עצמה, כשיטה מועדפת של אימות, ומפני שהיא כלי בעל ערך בקידום ההבנה המתמטית". אנשי חינוך מתמטי מסכימים שקישור רעיונות מתמטיים על-ידי שימוש ביותר מגישה אחת לפתרון אותה בעיה ה מנט חיוני בהתפתחות השכילה המתמטית ( ;1973 Polya, Schoenfeld, ;1985.)National Council of Teachers of Mathematics, 2000 פתרון בעיות בדרכים שונות גם דורש וגם מפתח ידע מתמטי (1973,(Polya, ומעודד ויצירתיות במחשבה המתמטית האינדיבידוית 2007) Tall,.(Leiken & Lev, 2007; גמישות בתוספת לתפקיד הייחודי של הוכחה במתמטיקה, אנו סבורים שניסיונות להוכיח תוצאה מסוימת )או לפתור בעיה( על-ידי שימוש בשיטות ממספר ענפים שונים במתמטיקה )גאומטריה, טריגונומטריה, גאומטריה אנליטית, וקטורים, מספרים מרוכבים וכדומה( הם מאוד חשובים לפיתוח העמקת ההבנה המתמטית, לפיתוח יצירתיות, להערכת הערך של ארגומנטציה והוכחה בלמידת נושאים מתמטיים שונים. הגישה שלנו, של הצגת ריבוי הוכחות לאותה בעיה, כמכשיר לבניית קישורים מתמטיים, נתמכת על-ידי פוליה 1981(,)Polya, 1973, שונפלד 1988(,)Schoenfeld, ארסוז 2009(,)Ersoz, Levav-( ולבב-ויינברג ולייקין )National Council of Teachers of Mathematics, 2000( NCTM.)Waynberg & Leiken, 2009 בדומה מאוד לרעיון שלנו, של "בעיה אחת, ריבוי פתרונות/הוכחות", קיים הרעיון של מטלות בעלות ריבוי פתרונות tasks) (multiple solution המוצגים על-ידי לייקין ולב 2007( Lev,,)Leiken & לייקין 2009(,)Leiken, לבב-ויינברג ולייקין 2009( Leiken,.)Levav-Waynberg & במסגרת הרעיון ה, קיימת דרישה ברורה להוכחת משפט או טענה במספר דרכים. לייקין )2009 )Leiken, מציינת שההבדלים בין ההוכחות מתבססים על )1( הצגות שונות של מושג מתמטי; )2( תכונות שונות )הגדרות או משפטים( של מושגים מתמטיים מנושא מתמטי מסוים; )3( כלים ומשפטים מתמטיים מענפים מתמטיים שונים; )4( משפטים וכלים שונים מנושאים שונים )לא בהכרח ממתמטיקה(. במקרה שלנו, אנו מיישמים את הסוג השלישי של ההבדלים בין ההוכחות: אנו נציג פתרונות שונים לבעיה באמצעות כלים ומשפטים של גאומטריה אויקלידית, גאומטריה אנליטית, טריגונומטריה, וקטורים ומספרים מרוכבים.

88 04 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי תוספת המושג של ריבוי דרכי פתרון לבעיה אחת לתכנית הלימודים של מתמטיקה, כמו גם את המטלות בעלות ריבוי פתרונות, מאפשרת את ההתפתחות של ידע מתמטי מקושר לא רק בעבור הסטודנטים א גם בעבור מוריהם. נתון משו ABC שאורכי צותיו הם:.BC=a; AC=b; AB=c מהקודקוד A מעבירים את שלושת הקטעים הבאים: את הגובה AD לצ BC המסומן ב- h, את AN חוצה זווית A המסומן ב- l ת AM התיכון לצ BC המסומן ב- m, כפי שניתן לראות בציור מס' 1. נתון ששלושת הקטעים מחלקים את זווית A לארבע זוויות שוות, שכל אחת מהן מסומנת ב-. יש למצ את ערכה של זווית זו. ברור משו שהמשו שווה שוקיים, BAN ה AB AN l c )משו שכן שבו הגובה וחוצה ווית מתלכדים(. מעובדה זו ניתן לסמן BD DN x ולהוסיף.NM=t סימון )1( m t h x על-פי )על-פי משפט חוצה ווית( משו, ADM )2( b b 2x t l c t על-פי )על-פי משפט חוצה ווית( משו, ANC )3( b 2x 2t x t c 2x x על-פי )על-פי משפט חוצה ווית( משו, ABC )4( 2x t x t t x 2 t x על-ידי שימוש בקשרים )2( ו-) 3 ( מקבלים: 1. המקור לבעיה והנצחה: את המשימה שעליה מבוסס המאמר הציג לאחד מהמחברים המורה למתמטיקה, מנחם אורנשטיין ז"ל, מבית-הספר נעל"ה שבכפר הנוער צבי סיטרין חוף הכרמל, שנדרס למוות ביציאה מבית-הספר, בדרכו לביתו ביישוב צופים )מזרחה לכפר-סבא(. מנחם ז"ל אהב בכל נפשו את הוראת המתמטיקה והיה אהוד על כל תלמידיו. אנו מקדישים מאמר זה לזכרו. יהי זכרו ברוך.

89 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 05 )5( ht hx 2 m h 2 x x מקבלים: על-ידי שימוש בקשרים )1( ו-) 4 ( מקבלים: על-ידי שימוש במשפט פיתגורס במשו ADM )6( DM h m x t h m על-ידי שימוש בקשרים )4( ו-) 5 ( מקבלים: )5( [ x(1 2)] h 2 h h x(1 2) h DM על-ידי שימוש בקשר )5( מקבלים, שמשו ADM ה ישר-זווית ושו"ש, כלומר,. 2 התוצאה הסופית מפתיעה, ומחייבת שהמשו ABC ה ישר-זווית בקודקוד A. התייחסות למשימה BCA 22.5 ההפוכה: המשימה ABC ו ודרך היא: ההפוכה A הקודקוד נתון )של משו ווית בעל הישרה( חדות זוויות מעבירים של בתוך המשו שלושה קטעים המחלקים את ווית לארבע זוויות שוות. יש להוכיח שקטעים ו הם: גובה, חוצה-זווית ותיכון לצ.BC במקרה זה, ההוכחה פשוטה מאוד בהשוה למשימה המקורית. בחלק מהמקרים ההוכחות של המשפט ושל המשפט ההפוך קלות וישנם מקרים שההוכחה באחד הכיוונים קלה אך בכיוון ההפוך היא קשה הרבה יותר. דוגמה בולטת לכך, היא ההוכחה הקשה של המשפט: "אם במשו שווים באורכם שנים מחוצי-וויות, אזי המשו ה שו"ש", ומת הקלות שבהוכחת המשפט ההפוך. הערה דידקטית: כצפוי, מרבית הסטודנטים והמורים שנתבקשו לפתור אותה בדרך גאומטרית המשתמשת במשפט חוצה ווית, כפי שהוצג בפתרון א' וזאת מהסיבה שבמשימה ישנם שלושה משוים שבכל אחד מהם עובר חוצה זווית. משימת את לפתור החלו המאמר משפט עזר: אם AB ה קוטר של מעגל ו- K היא נקודה על הקוטר כך ש- KB=KC אזי הנקודה K היא מרכז המעגל )ראו ציור מס' 2(.

90 06 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי ACB הוכחת משפט העזר: ווית 90 לפי שהיא זווית היקפית הנשענת על הקוטר.AB KCB KBC ACK 90 CKB AKC 2 KAC 90 AKC זוויות חישוב על-ידי ולכן במשו מקבלים ש- נובע ומזה, AK KC KB שמשמעו: הנקודה K היא מרכז המעגל. שימוש להוכחת העזר במשפט המשימה: את חוסמים המשו ABC כפי במעגל שנראה בציור מס' 3. BC למיתר אמצעי אנך ה GH המיתר )עובר דרך נקודת האמצע שלו(, ועל כן ה האנך במעגל. קוטר האמצעי GH וחוצה ווית AN נפגשים בנקודה H שעל המעגל. מהעובדה ש- HB=HC נובע על-פי ש-. CAH BAH המקבילות הישרים של בין שוויון נובע AD GH וויות ההיקפיות. DAN MHA לכן משו AMH שווה משו ה שוקיים או במילים אחרות. AM MH הנקודה M היא נקודה על הקוטר שמקיימת, AM MH ולכן על-פי משפט העזר הנקודה M היא מרכז המעגל. היות שהמיתר BC עובר דרך נקודה זו הרי שגם ה קוטר. ווית BAC. 4 ל- 90 כזווית היקפית הנשענת על קוטר. כלומר, שווה כאשר חוסמים את משו ABC ביחס לבסיס BC של המשו: במעגל, קיימות שלוש אפשרויות למיקומו של מרכז המעגל O אפשרות א: אם, 4 90 אפשרות ב: אם אזי מיקום המרכז O נמצא מחוץ למשו., 4 90 אזי מיקום המרכז O נמצא בתוך המשו. אפשרות ג: אם, 4 90 אזי מיקום המרכז O נמצא על בסיס המשו.

91 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 05 שלוש האפשרויות מתרות בציור מס' 4. ברור שמרכז המעגל החוסם O נמצא על האנך האמצעי לצ.BC השימוש בדרך השלילה מטרתו להוכיח שאפשרויות א ו-ב של מיקום מרכז המעגל יוצרות סתירה. אפשרות א: מחברים את מרכז המעגל O עם ווית AOB 2 ACB 2(90-3 ) )לפי שזווית מרכזית שווה לכפליים ווית ההיקפית הנשענות על אותה קשת(. מאחר ש- OA OB )רדיוסים( הרי שמשו AOB ה שווה שוקיים ולכן 3 OAB מאחר ש- OAB מתקבל MAB ש- 3 MAB והרי זה בסתירה, MAB לנתון ש- 3 כלומר נשללת אפשרות א ש-. 90 BAC הקודקודים A ו- B של המשו )ראו ציור מס' 5(. כמו ב: אפשרות א, באפשרות

92 00 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי מחברים את מרכז המעגל O עם גם במקרה זה AOB וווית OAB 3 מאחר ש- MAB, OAB מתקבל ש-. 3 MAB הדבר מהווה סתירה הקודקודים A ו- B )ראו ציור מס' 6(. לנתון, MAB כלומר נשללת ש- 3 אפשרות קטנה המסקנה: האפשרות שווית ב' BAC מ-. 90 היחידה אפשרות ג, שבה המשו ABC ישר-זווית ו היא שקיימת, 4 90 כלומר משו ה הערות מתודיות: בהוכחה בדרך השלילה יש לבדוק את כל האפשרויות ולול את כולן, פרט לאחת שהיא האפשרות הנכונה. ראוי לציין שתלמידים מתקשים להבין את הדרך ו של ההוכחה בדרך השלילה, ולכן תלמידים נמנעים בדרך-כלל להשתמש בדרך זו. במסגרת חיפוש פתרונות גאומטריים נמצאו שני פתרונות נוספים המבוססים על חסימת המשו הנתון במעגל. בפתרונות הנוספים שנמצאו לא נעשה שימוש במשפט חוצה ווית או הוכחה בדרך השלילה. נמצאו מספר פתרונות טריגונומטריים שבהם נעשה שימוש במשפט הסינוסים או הקוסינוסים וכן פתרון שבו נעשה שילוב עם חישוב שטחים. כל אחד מפתרונות ו מחייב שימוש בזהויות טריגונומטריות ובשלב הסופי פתרון

93 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 03 של משוה טריגונומטרית. הפתרון המוצג במקרה הראשון מסמנים: BC=2a )ראו ציור מס' 5(. הפשוט ה זה מבין הפתרונות שהושגו. בשלב בשלב השני מבטאים את אורכו של התיכון AM על-ידי שונים והשוה בין שני הביטויים שמתקבלים. שימוש במשפט הסינוסים בשני משוים )1( )2( AM a a cos3 AM sin(90-3 ) sin sin AM a a cos AM sin(90 - ) sin3 sin3 מהמשו AMC מקבלים, מהמשו AMB מקבלים, מהשות קשרים )1( ו-) 2 ( מקבלים, acos3 acos 2sin 3 cos 3 2sin cos sin sin3 ועל-ידי שימוש בזהות של סינוס זווית כפולה מקבלים את המשוה הטריגונומטרית, sin6 sin2 שפתרונותיה הם: k k או k 90 k )כאשר k מספר שלם(. הפתרון הרלוונטי היחיד לבעיה הנתונה ה 22.5 ועל כן המשו ABC ה ישר-זווית. הפתרון הטריגונומטרי אינו נזקק לבניית עזר, אך מחייב יידע של זהויות טריגונומטריות ויכולת פתרון של משוה טריגונומטרית. מיקום קודקודי הם: ה- y ציר המשו ABC במערכת הצירים מופיע בציור מס' 0. שיעורי קודקוד A הנמצא על A 0,. הקודקודים B ו- C נמצאים על ציר ה- x והשיעורים שלהם מסומנים: y O שהיא גם ראשית הצירים. 0,0 בנקודה AO עקב הגובה. Cx ( Bx 2,0 ו- 0) 3, 1

94 38 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי בהם יעורי ו- C נקבעו שיעורי N כדלקמן: הקודקודים B הנקודות M ו- x2 x N 3 x2, 0, M, 0 2 בהסתמך על כך שמשו ABN ה משו שו"ש. ממשו AOB ששיפוע נובע הצ AB ה: )1( y1-0 -y1 1 tan(90 - ) x 2 -y1 tan 0-x x tan 2 2 ממשו AOM נובע ששיפוע התיכון AM ה: )2( y tan(90 2 ) - tan(90-2 ) tan 2 x x x 0-2 x 3 tan2 2y1 2 ממשו AOC נובע ששיפוע הצ AC ה: )3( y tan(90 3 ) -tan(90-3 ) x3 y1tan 3 0-x tan3 3 על-ידי הצבה בקשר )2( של ערכי x 2 ו- x, 3 כפי שמופיעים בקשרים )1( ו-) 3 (, מקבלים )4( -y1tan y1tan3 tan 2, y1 0 2 tan 2 tan 3 - tan 2y 1 tan( ) tan(3 ) כשרושמים את tan 2 בצורה ומשתמשים של בנוסחה מקבלים, ב-, tan 3 - tan 0 tan3 -tan tan על-ידי חלוקת שני האגפים tan 1 tan3 tan, cos 3 cos sin 3 sin 0 מקבלים tan3 tan 1 מקבלים, הקשר, את שמוביל לקשר שממנו cos 4 0 ולכן כלומר המשו ABC הנתון ה ישר-זווית.

95 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 31,, -,0,,0. A x y B a C a 1 1 בוחרים מערכת צירים כך שבסיס המשו BC נמצא על ציר ה- x נקודת שהנקודה M באופן האמצע של הבסיס, היא הראשית ציור )ראו הצירים מערכת של נסמן: אם לפיכך 3(. מס' אזי שיעורי, BC 2a הקודקודים של המשו יהיו כדלקמן:. לכן על-ידי שימוש בנוסחת הטנגנס לזווית y1 x 1 y1 השיפוע של AC ה, והשיפוע של AM ה x1- a שבין שני ישרים על-פי השיפועים שלהם מקבלים, )1( y1 y - 1 x -a x tan CAM tan 1 x ( x - a) y1 x1 ax1 y1 1 1 ay )2( - tan(90 ) y1 x a 1 השיפוע של AB ה, על-ידי הכפלת קשר )1( בקשר )2( מקבלים, )3( ay y tan tan(90 - ) 1 x1 ( x1 y1 - a ) 0 x ax y a x1 היות וברור ש-, x1 0 כי אחרת התיכון וחוצה ווית היו מתלכדים, כשהמשמעות הייתה שהמשו הנתון שו"ש ולא היו מתקבלות ארבע זוויות, y1 y1 x1 y1 - a 0 y1 -( x1 לכן -1 - a ) x a x a 1 1 כלומר, וווית ערך מכפלת השיפועים של הצות AB ו- AC ה )1-(, BAC ובהמה ערכה של ווית α ה הצות ולכן לזו זו מאונכות. x y a a x y AM ממבט אחר על קשר )3( מקבלים,

96 ו- 32 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי על-ידי שימוש במשפט פיתגורס במשו ADM מקבלים. AM a ולכן משו BAC ה ישר-זווית לפי המשפט: "אם במשו התיכון שווה למחצית הצ אותה ה חוצה, אזי המשו. BAC ישר-זווית", כלומר 90 התוצאה האחרונה מפתיעה משום שבפתרון לא נעשה כל שימוש בחוצה ווית. דבר זה מביא למסקנה שכאשר הגובה במשו יוצר זווית כהי עם הצ של המשו וגם התיכון היוצא מאותו קודקוד יוצר את אותה זווית עם הצ השנייה אז המשו חייב להיות ישר-זווית )סיגלר, 2884(. הערה מתודית: לפי פתרונות ה' ', רים שבפתרונות בדרך של הנדסה אנליטית חייבת להיות מיומנות לבחירת מיקומו של המשו במערכת הצירים וכן ידע בטריגונומטריה שבדיו לא ניתן לפתור את המשימה. סימון הווקטורים ה כדלקמן:, BC a, AC b, AB c AM m, BN x, AD h סימון הווקטורים מס' 18. בציור גם מופיע )1( בהם לסימון מקבלים a b - c המשוים ADC ו- ADB )הגובה( וגם. DC DB ישרי-זווית הם וגם, b c משותפת צ בעלי שהם משום וזאת ממשפט חוצה ווית במשו ABC מקבלים את הקשר הבא, )1( )2( x ( a x) ועל-ידי חילוץ מקבלים, c b c c x a ( b - c) c b c b בהם לסימון הווקטורים הביטוי לווקטור הגובה ה, 1 h c x 2 ובעזרת קשר )2( מקבלים,

97 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 33 )3( h c 1 2 ( b - c) c c b מאחר שהווקטורים a ו- h ניצבים זה לזה אזי המכפלה הסקלרית שלהם. ah=0 הצבת ערכי הווקטורים, כפי שמופיעים בקשרים )1( ו-) 3 (, במכפלה הסקלרית מניבה את הקשר הבא, שלאחר פישוט מקבל את הצורה, 1 c ( b c) c ( b c) 0 2b c )4( 2 2 c( c 2cb- b ) b c 2b. בעזרת משפט חוצה ווית מקבלים, h ממשו ADM מקבלים cos 2 m )2(. cos2 x a 1 2cos2 הווקטור ערך ומכאן על-ידי בקשר שימוש מקבלים, x h 2 m a x 2 )5( c או לאחר חילוץ cos 2 b c cos2 c 1 2cos2 c b 2 cos 4 2cos 2 מהות הטריגונומטרית 1 ומקשר )5( מקבלים, או בצורה, c c 2cb-b cos ( b- c) ( b- c) )6( c 2bc - b ( b - c) cos 4 בהסתמך על קשר )6(, ניתן לרשום את קשר )4( בצורה, c 2 b c= ( b- c) cos 4 2b מצד אחר ניתן לרשום את המכפלה הסקלרית של הווקטורים b ו- c בצורה הבאה, b c b c cos 4 ועל-ידי השות שני הביטויים שהתקבלו למכפלה הווקטורית שלc b מקבלים,. c 2 cos 4 bc- ( b- c) 0 2b האפשרות הראשונה היא, cos 4 0 שמשמעותה ( b - c ) 2b 2 2 האפשרות השנייה נותנת את הקשר ( b - c) 2b או בצורה b

98 34 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי

99 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 35. b( 2-1) -c לאחר הוצאת שורש ריבועי והוצאת גורם משותף מקבלים 0, וכן b c הנתון ולפי היות שהמשו הנתון חייב להיות הרי שהאפשרות נדחית השנייה והמסקנה היא הסופית ישר-זווית. ראוי לציין שלמרות שההוכחה בעזרת ווקטורים מסובכת ומורכבת יותר בהשוה להוכחות האחרות, ף מחייבת שילוב של הנדסת מישור וטריגונומטריה, יש לגברה הווקטורית חשיבות רבה ככלי להוכחה ופתרון בעיות כשבחלק מהמקרים היא הדרך הפשוטה יותר בהשוה לדרכים האחרות. נבחר מערכת צירים כך שהקודקוד A ה בראשית הצירים והגובה AD מונח על ציר ה- x בכיוון החיובי. מסמנים את. AC b, הגובה ב- AD x ת הצות AB c התיאור של המשו מופיע בציור מס' 11. במערכת גאוס מישור של הצירים בציור ציר ה- x ה ציר המספרים הממשיים וציר הציר המדומה.iy ה- y ה הנקודות: M N, D, B, ו- C הן בעלות אותו שיעור של x. DC y, DM y, DN y סימונים נוספים: )ברור 3 ש-.) DB -y במישור גאוס שיעורי הנקודות כדלקמן: C : z x i y ; M : z x i y ; N : z x i y ; B : z x- i y כעת מבטאים את ) z ( בדרך גברית ובדרך טריגונומטרית: בדרך גברית ( z ) =( x+ iy ) =( x -( y ) )+2xy i בדרך טריגונומטרית על-ידי נוסחת דה-מבר ( z ) z cis 2 ( x ( y ) )(cos 2 i sin 2 ) 2. העיקרון של הוכחה זו: בעקבות הצגת הבעיה הנ"ל לקבוצת פרחי הוראה ובקשה לפתור אותה בדרכים שונות, קיבלנו את עיקרי ההוכחה בעזרת מספרים מרוכבים מאחת הסטודנטיות )אירנה לריאנוב(. אנו הרחבנו את ההוכחה ומציגים אותה במאמר ה.

100 36 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי כשמשווים את הערכים הממשיים ת הערכים המדומים בשני הביטויים מקבלים: x - ( y ) ( x ( y ) ) cos xy ( x ( y ) )sin 2 על-ידי חלוקת שני הקשרים האחרונים זה בזה, מקבלים את הקשר הבא: )1( 2xy tan 2 x ( y3 ) 2 ממשו AMD מקבלים tan2 = y x היות והנקודה M היא נקודת האמצע של הצ,BC הרי ששיעור ה- y שלה ה )2( y1 (- y3) y2 2 ומכאן מקבלים )3( y1 y3 tan 2 2x הביטויים של מהשות tan 2 שבקשרים )1( ו-) 3 ( מקבלים y y 2xy, שלאחר טיפול גברי מקבל את הצורה x 2 2 x -( y3 ) )4( y y -5y x y -y 2 3 = , ועל-ידי הצבה בקשר )4( מקבלים y3 tan x ממשו AND מקבלים )5( tan y-5y y-y

101 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 35 במשו ANC b 1-2 AC CM y y c AN MN y -y 2 3 ממשפט חוצה ווית מקבלים: במשו ABC b 1-3 CN y y c NB 2y 3 מקשר )2( y1- y3 y2 2 מקבלים, b y1 y3 c y -3y 1 3 y1 -y3 y1 y3 2y y -3y 3 1 3, מקבלים b מהשות הביטויים של c ועל-ידי טיפול מתמטי מקבלים את המשוה: y y 3 שפתרונותיה הם: 2 y 1 y 1 y 3 y y1 מהציור ברור ש- 1 y ולכן. y (3 2 2) y על-ידי הצבת הביטוי האחרון בביטוי של tan כפי שמופיע בקשר )5( מקבלים וניתן למצ בעזרת מחשבון ש- 22.5, tan cos ניתן להימנע מלהיעזר במחשבון על-ידי שימוש בזהות הטריגונומטרית: tan 2 1 cos ווית כאשר tan , 45 ז מקבלים כלומר מתקבלת זווית של, 22.5 ולכן. BAC 90

102 30 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי הכנסת התוכנות הגאומטריות הדינמיות Software( DGS= Dynamic Geometry כגון ה- Geometers,Sketchpad ולאחרונה ג'יאוג'ברה )Geogebra לכיתות יוצרות אתגר למקובל בלמידת משפטים והוכחות דדוקטיביות בהוראה ובלמידה של גאומטריה אויקלידית. סטודנטים/לומדים יכולים להתנסות באמצעות גרירות שונות ושינויים תכופים של אובייקטים גאומטריים שהם בונים, וכתוצאה מכך יכולים להסיק תכונות, הכללות והשערות בנוגע להוויה הגאומטרית. פעולות הגרירה של אובייקט גאומטרי מאפשרות לסטודנטים להבין/לתפוס מחלקה שלמה של אובייקטים שבהם ההשערה המסוימת היא אינוריאנטית )אינה משתנה(, ולכן הסטודנטים משתכנעים שההשערה שלהם תהיה תמיד נכונה )1998 Villiers,.(de יחד עם זאת, מחמת הטבע האינדוקטיבי של הסביבה הגאומטרית הדינמית, אנו מכנים את התהליך ה 'הוכחה למחצה'. אי לכך, בעקבות השימוש בסביבה הגאומטרית הדינמית, הפער הקיים בין הניסוי לוריה ברכישת ובהצדקת ידע גאומטרי, הופך לדאגה פדגוגית פיסטמולוגית חשובה (2002 Lopez-Real,.(Leung & הסטודנטים חייבים להיות מודעים שהם עדיין צריכים להוכיח מאשר לסמוך על הניסוי הווירטוי. 'כמעין חקירות אמפיריות' רוכשות יותר ויותר חשיבות, הן מבהירות פונקציות של הוכחה שבאופן מסורתי היו מעורערות (2007 Moss,.(de Villiers, ;2004 Connor & דוגמאות של פונקציות ו הן הסבר, תובנה, הבנה, תקפות וגילוי. שיטות החקירה הללו, שאינן דדוקטיביות ומסתמכות על ניסוי, אינטיציה ושכילה אינדוקטיבית (2004 Villiers,,(de נראות כמספקות יותר קונטקסט משמעותי להוראת-למידת גאומטריה בעזרת הסביבה הגאומטרית הדינמית מאשר הגישה הקלסית של הוכחה כדרך של קבלת וודאות. כתוצאה מהנ"ל, החלטנו לבדוק איך הבעיה שלנו ניתנת לפתרון במסגרת הסביבה הגאומטרית הדינמית. השתמשנו בעזרת תוכנת ג'יאוג'ברה )Geogebra( שבעזרתה יכולנו לבנות ולוט בתנאים הנתונים של הבעיה )משו שמאחד מקודקודיו מועברים שלושת הקווים המיוחדים(, וגרירת האובייקט המתמטי באחד הקודקודים של המשו עד לקבלת 4 וויות הנוצרות על-ידי צות המשו ושלושת הקווים המיוחדים, שתהיינה שוות. לג'יאוג'ברה )Geogebra( יש יתרון שמקבלים בכל רגע ורגע את גודל וויות השונות בעקבות הגרירה, תוך כדי שמירה על התנאים הבסיסיים של הבעיה. בנקודה זו, ידענו שזה אמור לקרות כאשר ווית BAC היא 90, 0 כן זו התוצאה שקיבלנו. הניסוי מוצג במלו בקישור הבא: http: //highmath.haifa.ac.il/stupel/st.doc הקלות שבה ניתן להעלות השערות ראשוניות באשר לסוג המשו על-ידי שימוש בתוכנה גאומטרית דינמית, הובילה אותנו להסיק שמהלך פעולה אפקטיבי יהיה להתחיל להציג את הבעיה בעזרת תוכנת הג'יאוג'ברה )Geogebra( )או כל תוכנה מימה אחרת(, לאפשר לסטודנטים לבנות את המשו עם שלושת הקווים המיוחדים, להציג תנאים שיש לפקח עליהם, ולהשתמש בגרירה של האובייקט

103 ,תחא היעב :ןורתפ יכרד הברה הקיטמתמה ימוחת רשגכ תוחכוה יוביר 33 ירטמגה דע תלבקל.האצותה זא תלבקתמש עגרב תיווזהש הרעשהה תבייח תויהל,90 0 ךירצ שקבל םיטנדוטסהמ חיכוהל האצותה ןפב יביטקודד תועצמאב םילכ םיירטמג.םילבוקמ הנכותה הביבסב תירטמגה תימנידה תשמשמ ילכ ךוותמ רושיגל רעפה לדומה יזיפה ו החכוהה תילובמיסה.תילמרופה ךלהמב רטסמסה תנש ינשה םידומילה,ב"עשת ונכרע הללכמב תרשכהל ונאש םירומ םידמלמ,הב רקחמ אטוז אשונב ןורתפ תויעב םיכרדב תובר.תונושו תרטמ רקחמה התייה קודבל ןה תלוכיה יחרפ הארוהה רותפל תויעב םיכרדב תונוש ןהו ךירעהל יהמ תגרד תובישחה םהש םיסחיימ שומישל היגטרטסאב וז הארוהב םה ו םידימלתה םה.דיתעב,ליבקמב תרטמ הנשמ התייה ןוחבל וב תינמז םג תוסחייתהה םיצרמה הקיטמתמל םקלחב( םג םירומ םיקיתו םיסונמו הארוהב ופב רפס-יתבב )םיינוכית שומישל הטישב ןורתפ תויעב םיכרדב תובר,תונושו םאהו םייק לדבה םתניחבמ הארוה וזכ ידימלתל ןוכית תמועל םיטנדוטסה.הללכמב רקחמב ופתתשה 35 םיטנדוטס תויטנדוטסו הנשב,'ג רקל םויס םהידומיל גוחב הקיטמתמל לולסמב תרשכה םירומ רפסה-תיבל ידוסי-ה תותיכל( 'ז -י.)' ךלהמב תינכת הרשכהה םירבעומ םיסרוק םיילאירטסמס אשונב תויעב" תורחבנ תסדנהב "רושימה בוליש"ו םימוחת."הקיטמתמב ינשב םיסרוקה וללה תוגצומ תויעב ןורתפל םיכרדב,תונוש םיתעלו וז תונמדזה תניוצמ םיהל םירעפ עדיב יטמתמה דחוימבו תונקהל םיטנדוטסל םילכ םייגוגדפ/םיידותמ תבחרהל לנסרא תויגטרטסא/תוטיש.םה הארוהה ליבקמב התשענ היינפ םיצרמל תוללכמב םקלחש הארוהל םה םג םירומ םיסונמ רפס-יתבב,םיינוכית תחקל קלח.רקחמב םיצרמ 13 ובישה ונל.בויחב בב ןושארה רקחמה הקלוח הלאשה האבה םיטנדוטסל החנו םג םיצרמל הקיטמתמל רפסמב תוללכמ רוזאב,ןופצה ינשש ידכ םימגדמה ונעי :הי המל 38%-מ םיטנדוטסהמ ועיבה המכסה רשאב תובישחל הגצהה ןורתפו תויעבה תרזעב תוטיש תויטמתמ.תונוש ןפב יפיצפס םה ונייצ תובישחה :תוביסהמ חותיפ" ;"הבישח רוביח" םיאשונ םינוש םידמלנש ךלהמב ;"םידומילה דודיע" ;"תויתריצי ךילהת" ידומיל יתועמשמ ובש דימלתה לוכי חתפתהל קזחלו ויתועידי םגו ביחרי ;"ויקפ התיכב",םינייטצמ םה םילוכי תרל הקיטמתמבש יפויה םיווחו היווח תעב ןורתפ ליגרת םיוסמ רפסמב םיכרד תוליבומה ותו."ןורתפ קר 3 םיטנדוטסהמ ורבס,תרחא :ןוגכ גיצהל" ןורתפ תומישמ רפסמב םיכרד השקמ

104 188 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב םידמולה רצויו...לובלב שי דומלל לכ אשונ ינפב ;"ומצע " לכ דימלת לוכי תרל לכ תויורשפאה תידיימב /ו."ןחבמ ןמזב תניחבמ,תמגודה תיברמב,םירקמה םיטנדוטסה וגיצה טפשמ,סרוגתיפ ןוכית רתיל שלושמב רשי ;םיחטש יצמ,תיווז לכ תמגודה וללה וגצוה קר םילימב לו חותיפ.ףסונ בב ינשה רקחמה הגצוה םיטנדוטסל תייעב עברא תויווזה ושקבתנו רותפל הת לכב ךרד האריתש.םהל וז הלאש התייה תירג רובעב םיטנדוטסה ולבקתהו םהמ תובושת ;תוטעמ ללכ-ךרדב תוטישב תיירטמג רושימה.הירטמונוגירטו הרקמב אצוי ןמ,ללכה תחא תויטנדוטסה העיצה ןורתפ דחוימ תרזעב םירפסמ ליבוהש,םיבכורמ ןורתפל מה הטישב וז תגצומה.רמאמב,ךשמהב בב,ישיה םיטנדוטסה ולביק לכ תוחכוהה ויהש ונתושרב 12-כ( םיכרד )תונוש ךרענו ןויד.םמע םה ושקבתנ עיבצהל ןורתפה הפיה ב :םתעדל המ ןורתפה טושפה ב יהמו ךרד ןורתפה תיתרגשה ב טרפלו תובישחה המורתהו ןורתפ היעב תמיוסמ.תונוש םיכרדב םיטנדוטסה ומשרתה דמ רפסמהמ ברה תונורתפה.היעבל תניחבמ רדס,תויופידעה 16 םיטנדוטס ךותמ 35-ה ופידעה ןורתפה תטישב הירטמג תיטילנא הנעטב אוה"ש ילמרופ ןכלו לק, ךא ןיידע שי ךרוצ רוחבל םוקימ תישאר."םיריצה 3 םיטנדוטס םירחא ופידעה ךרדה,תירטמגה ראשו 12 םיטנדוטסה הטישה תירטמונוגירטה ונייצו יכ" ןורתפה ךרדב וז הטי בייחמ תויוב תלוכיו תוושמ ןורתפ."תוירטמונוגירט תניחבמ יפויה,תונורתפה 10 תויטנדוטסו םיטנדוטס ןורתפהש ונייצ הטישב תירטמגה יכה.הפי רקיע תוסחייתהה התייה החכוהל ךרדב :הליה " ונייה םיבשוח,ךכ תורמל רחא תגצה,החכוהה התייה הרורב תכמתסמו יטפשמ הסדנה םיעודי."דמ יבגל ןורתפה תטישב הרבגלאה :תירוטקו הארנ" ךבוסמ,ידמל לבא ןתנ תונמדזה םיהל הנבה רמוחה אשונב,"ומצע תטבתה ןוגכ וז" תונמדזה םשייל הדמלנש הירת סרוקב תרות הדמלנש "םירוטקווה דחאב יסרוקמ הרשכהה.הקיטמתמב ליבקמב קוסיעל אשונב ה יוביר יכרד ןורתפ תויעבל,תויפיצפס תרגסמב סרוק בולישל היגולונכטה רוהב,הקיטמתמה וסנתה םיטנדוטסה שומישב תונכותב תונוש רקיעבו תנכותב הרב'גי'גה.)Geogebra( הרומה סרוקה הלביק ונמ תייעב תעברא תויווזה ומכ םג תויעב תופסונ םיטנדוטסהש ידכ וסנתי ןה הגצהב הל תורעשה רשאב.ןה ןורתפל בב ה רח רש ןווגמ תוטישה ןורתפל תייעב עברא,תויווזה רשפא היה ןיחבהל יונישב תודמע םיטנדוטסה ןוויכל תמצעה תובישחה שומיש םילכב םייטמתמ םינוש ןורתפל היעב.תירג בב ןורחאה רקחמה יבגל תצובק,םיטנדוטסה ורחבנ ןפב יארקא 12 םיטנדוטס תוצובקהמ ודמ,אשונה ךרענו ןויאר הנבומ לכ.תחא/דחא ןויאירה םמע.תולאש 5 ללכ חוודנ ןאכ 2 :ןהמ

105 ,תחא היעב :ןורתפ יכרד הברה הקיטמתמה ימוחת רשגכ תוחכוה יוביר והמ ךיניעב ךרעה תגצה תוחכוה/תונורתפ םיבורמ התו?היעב םאה יאדכ עיקשהל?ךכב.2 החנהב הש דמלמ דמוע דמלל,רפסה-תיבב םאה טוקנת תוטישב?ולאכ םאה שורדת ךידימלתמ רותפל תויעב?תונוש תוטיש המכב הלאשל הנושארה לכ םיטנדוטסה םינייאורמה ורזח בוש תונויערה תרשפאמ" תרל הנומתה תיללכה תמועל קלח דרפנ חטשב דחא,"ןטק תוחכוה" תובורמ התו היעב,תוחתפמ,תוררועמ...תונרקסמ תוניינעמ ו,"יטמכס תוחתפמ" תויונמוימ הבישח םג םיטנדוטסל םגו."םירומל ושש תונויארהש,ןאכמ בתכנה ידי- תיברמ ונעש ולא ןולאשה.הליחתב רשאב הלאשל,היינשה ןאכ רבכ ויה 5 םינייאורמ ועיבהש םתעד ןכאש ושרדי םהידימלתמ תונורתפ תוטישב,תונוש וליפא םינחבמב ןבומכו.תיב-ירועישב תחא תונייאורמה הנייצ שורדתש שומיש תונוש תוטישב יכ ךכ" לכ טילחהל וליאב םיאשונ םיטלוש םידימלתה בטיה םיטלוש וליאבו."תוחפ תמועל ז רפסמ לטובמ 5 ועיבהש םיטנדוטס הטישה"ש הגאד וזה לבלבת "םידימלתה טוקננ",הב קר םירקמב םימיוסמ ו דימת ו לכב."אשונ תוביס תורחא ךירצ" תחקל ןובשחב תולבגמ ןמזה דמועש תושרל הרומה ומכ םג תולבגמ תלוכיה,"םידימלתה ו בוט" קר םידימלתל המרב."תמיוסמ שי ןייצל םיסרוקהש וקסעש ןורתפב תויעב םיכרדב,תונוש ולביק תווח תעד הבוט תיסחי,םיפתתשמהמ ןולאש תכרעה תוכיא הארוהה רבעומה ידי- הללכמה ףוסב לכ סרוק דמלנה תרשכהב.םירומ המרה תיללכה הצובקמ תחא התייה 5.6 היינשהמו 5.0 ךותמ(.)6 םג קלחב,ילולימה םיטנדוטסה תועיבש ועיבה ןוצר ההובג תיסחי סרוקהמ.ולוהינו :הטודקנא דחא םיטנדוטסה,סרוקב הרומ ופב םינש הברה םימו תדועת,הארוה שיגה הדובע תרגסמב ליגרת תיב היעב המוד רתפו הת לכב תוטישה ונגצהש ליעל תייעבל תעברא.תויווזה היעבה גיצהש התייה תייעב שו,תויווזה רחאמ םיריבעמו ותמ דוקדוק A "קר" הבוג ןוכיתו םירצויש 3 תויווז תווש לכ תחא הלאשהו התייה והמ ךרעה רוקמ( :היעבה תומישמ תורשקמ החותיפב 'פורפ ור ןיקייל תטיסרבינמ,הפיח ןומימב זכרמה ילארשיה ךוניחל -יעדמ יגולונכט.)מ"למ הרקמב בוש לבקתה שלושמ רשי,תיווז םל פה שלושמ רשי תיווז,60,30 רשאכ תיווזה הרשיה.A דוקדוקב ןיוצמש יפכ,ליעל 13 םיצרמ הקיטמתמל תוללכמב תרשכהל םירומ ובישה ןולאשל.ינושארה הרקמב, ונח דחי ןולאשה היעבה תונורתפ.םינווגמ לכ םיבישמה ועיבה תובהלתה תוטישמ ןורתפה תונושה רשועהו רוצאה ןהב הניחבמ.תיטמתמ םלוכ ועיבה המכסה יבגל תובישח ןורתפ תויעב תוטישב תונוש.תונווגמו דחא םיבישמהמ שיגדה,הדבועה תונויסינש םינושאר רותפל תויעב תומיוסמ םימייתסמ :ןויכב לבא" םא ןב םדא עדוי לכ היצאוטיס רשפא תשגל רפסממ,םינוויכ זא ןויכ ןושאר דיחפמ ות אוה ליחתמ שפחל םיכרד.תושדח ו שבגמ!ו יפה ו טביה יכוניח בושח דמ ידומילב."!הקיטמתמה הצרמ רחא סחייתה אשונל :הכרעהה "יש ןייצל

106 182 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב ןורתפש תויעב םיכרדב תונוש רשפאמ תוושהל,ןהיניב ךירעהל תונורתיה תונורסחהו.ןה,רמולכ הניחבמ תיגוגדפ רבודמ קר םושיי,עדי א םג הכרעה יפ תימונוסקט םידעיה םייכוניחה םולב תבשחנ המרכ ההובגה."ב תחא תוצרמה השיגדה אשונ תויתריציה,תיטמתמה רשאכ רפסמ םידממ ה,ףטש( תושימג )תוירוקמו םיאטבתמ הטישב יוביר תונורתפ.תוחכוהו ומכ,ןכ איה הנייצ תובישח םויק ןוידה יתתיכה ןמדזמה ידי- תונורתפה םינושה הפי(? לק ריבסמ???עודמ.)המודכו בור םיצרמה 18( ךותמ )13-ה ושע הנחבה תורטמה תורושקה םידימלתל רפסה-תיבב ל תרשכה.םירומ,המגודל תחא תובישמה השיגדה תוסחייתהב םידימלתל תוירושיקה" יפנעל הקיטמתמ ;םינוש הנעמ תוינגורטהל דימלתה( קזחה רתופ םיכרדב,תודחא וליאו דימלתה יטאה רותפי תוחפל ךרדב ;)תחא תושימג רבעמו ;םינוש םיגוציי תרטמ לוגרת שומישהו ב םיגשומ םילכו ;םייטמתמ האנה תשגדהו יפויה."הקיטמתמה רשאב שומישל תרשכהב,םירומ איה לכש השיגדה תודוקנה ונמנש רובעב םידימלתה תונוכנ םג תרשכהל,םירומ ןאכמו התשע הנחבה הסחייתהו תיפיצפס יחרפל :הארוהה םצע" תוקסעתהה ןורתפב תויעב םיכרדב,תונוש תמרוג חרפל הארוהה שיגרהל ( קר )הל,היתונורתי ךכו לדג יוכיסה ושמתשיש היגטרטסאב ;"וז תרשפאמ םייקל הרזח" ל תשוחת :הרזח יחרפ הארוהה םיקוקז ןונערל קוזיחלו עקרה,םה יטמתמה ו דימת םה םיעדומ ךכל יד ;"ךרוצה ןורתפ" תויעב םיכרדב תונוש רשפאמ הרומל דיתעל,רוחבל מ ןווגמ,תונורתפ םיאתמש ןורתפ תורטמל הארוהה תחיתפל."אשונ העברא םיצרמ ונייצ תותה" תיכוניחה תחמוצה דימלתל ונויסינב רותפל היעב תיטמתמ תחא,תונוש םיכרדב וזו הבר וזמ תגשומה וקוסיעמ ןורתפב תויעב תובר תוב הנבמ ןורתפ,המוד ףא ;"ה םיתעל" ליעי רותפל היעב תיטמתמ שוב םיכרד תונוש םוקמב רותפל שו תויעב תונוש ךרדב."תחא תושגדה תופסונ רבעמ חותיפ"ל תושימג "תיתבשחמ ויה עגונב ךופיה"ל עדי יטרת עדיל ימושיי ;"ישומישו רופיש" תלוכיה הרומה רוציל ןיינע ;"םירועישב רופיש" תלוכיה הרומה חפטל תונרקסה."וידימלת תונרקחהו תובקעב הפישחה תורשפ שומישה םילכב םייגולונכט הרקמב( ונ דחוימב הנכותה תירטמגה,תימניד הרב'גי'ג,)]Geogebra[ בור םיצרמה ושיגדה תורשפא השחמהה" "תיתוזחה "הטלבהה"ו התמצוע" הרידאה "הקיטמתמה תועצמאב םילכה.ל"נה לכ,ז רבעמ תשגדהל ןפה יביטקודניאה תרזעב הנכותה תמועל ןפה יביטקודדה שורדה המהכ ןורתפל /ו.החכוהל,םוכיסל רקח,הרקמה ןה יחרפ/םיטנדוטסה הארוהה ןהו םיצרמה הקיטמתמל תוללכמב עיבצמ רוריבב תובישח הבר םושיי הטישה ןורתפ תויעב,תונוש םיכרדב ונאו םיעיצמ ביחרהל הללכהה אשונה ןה הארוהב תינוכיתה ןהו תרשכהב םירומ הקיטמתמל תוללכמב.ךוניחל ונא םיעיצמ לולכל תוחפל סרוק דחוימ םשל,ךכ זו רבעמ בולישל הטישה םיסרוקב םייטמתמה םייגוגדפהו תוינכתב.הרשכהה

107 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 183 הגאומטריה היא מכרה זהב למשימות מרובות דרכי פתרון. ההוכחות ניתנות להפקה על-ידי שימוש בשיטות שונות מתוך נושא מסוים של הגאומטריה, או מתוך ענפים מתמטיים אחרים, כגון גאומטריה אנליטית, טריגונומטריה ומרחבים וקטורים. מחברי המאמר ה טוענים שריבוי הוכחות עשויים לקדם גם הבנה טובה יותר וגם העלאת היצירתיות של הסטודנטים הלומדים מתמטיקה. חקר המקרה כפי שתר יל, חיזק משמעותית טענה זו. ריבוי דרכי הפתרון שהוצגו כאן בעבור שה אחת בגאומטריה מציגים את הקישוריות בין שטחים שונים של המתמטיקה, ומראים איך גאומטריה יכולה מש כבסיס לנושאים כגון טריגונומטריה, גאומטריה אנליטית ותורת הווקטורים. לדוגמה, כאשר פותרים את הבעיה בעזרת שיטות של גאומטריה אנליטית )מעבר ימוש הברור בגאומטריה אויקלידית(, מתגלה הקשר לטריגונומטריה באמצעות השיפועים של צות המשו וכתוצאה מכך הצורך לפתור משוות טריגונומטריות. כאשר משתמשים בהוכחה בווקטורים, הקשר לטריגונומטריה מתברר בדרישה ליישם את נוסחת המכפלה הסקלרית, ושוב קיים הצורך לפתור משוות טריגונומטריות כדי להגיע לתוצאה הרצויה. העיסוק של הסטודנטים עם הקשר בין ענפים שונים של המתמטיקה בונה את ראייתם את המתמטיקה כמדע מקושר ולא כאוסף בדיד של נושאים מנותקים האחד מן השני (1995 Coxford,.(House & במרבית מספרי המתמטיקה לבתי-הספר ברחבי העולם, הבעיות במתמטיקה מאורגנות בתוך נושאים ספציפיים המוצגים בתכנית הלימודים: הסטודנטים נוטים לחשוב שבעיות מסוימות קשורות לנושאים מסוימים, ולכן מניחים שלכל בעיה יש שיטה אחת ויחידה לפתרונה (1988.(Shoenfeld, כמו כן, בה בעת שמסמך הסטנדרטים של )National Council of Teachers of Mathematics, 2000( NCTM מדגיש את הצורך שמורים אמורים למצ משימות המציגות קישוריות בין ענפים מתמטיים שונים, ה גם מדגיש שלאתר משימות כו מצריך זמן רב וקורא ליוזמה מיוחדת מצד המורים להשקיע מאמצים בהכנת משימות כו. הניסיון שלנו מראה בהחלט, שעל אף שהמשימה ו אינה קלה, קיים צורך לזהות בעיות נוספות שאפשר לפתור אותן בעזרת שיטות מגוונות והדורשות יישום של הוכחות מתחומים שונים של המתמטיקה. אנו רים שמתפקידנו להמשיך ולחפש בעיות מימות כו ומעודדים את העמיתים שלנו גם שות זאת. אנו מאמינים שהמורים למתמטיקה צריכים להציג לסטודנטים שלהם בעיות שחייבים לפתור אותן ביותר מדרך אחת, וממליצים ככל האפשר ליישם ידע מענפים שונים של המתמטיקה. כמסקנה ממחקרו, בינגולבלי (2011 (Bingolbali, מציין שליישום של ריבוי דרכי פתרון בעיות יש פוטנצי לפיתוח "ההבנה היחסית" understanding( relational מושג הנזקף לזכותו של סקמפ ]1976 )]Skemp, ותורם להתפתחות העצמאות שלהם. יתרה מזו, כאשר בוחנים סטודנטים, המורים צריכים לאפשר להם לפתור תים בעיות על-ידי שימוש בהוכחות מענף מתמטי כהו ולא מוד על כך שיפתרו בעזרת הוכחה מהנושא הספציפי הנלמד באותה עת. המחקר זוטא שביצענו מצביע על כך, שאכן גם פרחי הוראה וגם המרצים במכללות מדגישים את חשיבות הקישוריות של תחומים שונים ת פיתוח היצירתיות וההבנה המתמטית באמצעות השיטה של ריבוי פתרונות לבעיות נתונות.

108 184 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי בתקופה זו ובימים ה, בלתי אפשרי להתעלם מההתפתחות של הטכנולוגיה וההשפעה שלה כמעט על כל שטחי החיים. מערכת החינוך אינה יוצאת מן הכלל, ובהחלט לא ניתן להתעלם מהערך של הטכנולוגיה בהוראת המתמטיקה. אנו מאמינים באמונה שלמה ביתרונות של שילוב תוכנות גאומטריות דינמיות )DGS( בפתרון בעיות מתמטיות ולמעשה הדגמנו את הבעיה שלנו בשימוש בתוכנת הג'יאוג'ברה.)Geogebra( בגיליון מיוחד של )Jones, Gutierrez & Mariotti, )2000 PME בהיותם עורכים אורחים של הגיליון שכותרתו environments","proof in dynamic geometry הם הצהירו ש"קיימת עדות רחבה, שעבודה עם תוכנה גאומטרית דינמית מספקת לסטודנטים אפשרויות של גישה למתמטיקה ורטית, משהו שדי קשה לתפיסה באמצעות כלים פדגוגיים אחרים" )עמ' 3(. חקר אינדוקטיבי באמצעות ה- DGS יכול להוביל את הסטודנטים לפתח השערות משלהם לגבי הפתרון של בעיה, ולאחר מכן סוק בהוכחה הדדוקטיבית. כל זאת בתוספת לתרומה של ראיית הצגות גרפיות שונות של המושגים ומצבים קשורים אחרים של הבעיה. לכן אנו ממליצים שמורי המתמטיקה יאפשרו תחילה לסטודנטים שלהם להתמודד עם פתרון בעיות באמצעות עבודה בסביבות כו עד שהם מגיעים להשערה סולידית בעבור הוכחה דידקטית. לסיכום, מאמצנו להתמודד עם הבעיה המוצגת, סיפקו לנו הרגשה אמתית של עבודה כמו המתמטיקאים אשר מחפשים פתרונות שונים לבעיה, במיוחד ו שהם קצרים, גנטיים סתטיים מבחינה מתמטית. על-ידי עידוד הסטודנטים הלומדים גם שות כך, הם גם ילמדו להעריך את הקשרים בין הענפים השונים של המתמטיקה ויגלו כיצד אפשר להתמודד עם בעיה אחת מנקודות מבט שונות. נוסף על כך, השילוב של התוכנות של הסביבות הדינמיות יוסיפו כלי טכנולוגי משלים שיעזור לסטודנטים בחקירה שלהם, ובה בעת גם יספק אמצעים למורים כבסיס לפעולה פדגוגית ודיונים בכיתה. כבונוס, גילינו משו מיוחד במינו, שבו שלושת הקווים המיוחדים מקודקוד אחד יוצרים 3 ארבע זוויות שוות ביניהם ובין הצות של המשו. 3. הבעת תודה: המחברים רים כחובה אישית להביע את תודתם והוקרתם לד"ר ורדה טלמון, מנהלת המרכז הארצי של המורים למתמטיקה בבתי-הספר העל-יסודיים שבאוניברסיטת חיפה, וובדות המרכז גאולה סבר ומאיה כץ על הסיוע הרב שהתקבל מהן, להכנת הקישורים לתוכנה הגרפית-דינמית, שאפשרה הצגה חזותית של הבעיה.

109 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 185 סיגלר, א' )2884(. מיומנו של מורה: משפט הפוך מעניין, בעקבות שה של תלמידה. על"ה, , Bingolbali, E. (2011). Multiple solutions to problems in mathematics teaching: Do teachers really value them? The Australian Journal of Teacher Education, 36(1), Connor, J., & Moss, L. (2007). Student use of mathematical reasoning in quasi-empirical investigations using dynamic geometry software. Paper presented at Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education (CRUME 2007), Department of Mathematics, Ohio University, Ohio. Retrieved from pdf de Villiers, M. (1998). An alternative approach to proof in dynamic geometry. In R. Lehrer & D. Chazan (Eds.), Designing learning environments for developing understanding of geometry and space (pp ). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. de Villiers, M. (2004). The role and function of quasi-empirical methods in mathematics. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 4(3), Dreyfus, T. (2000). Some views on proofs by teachers and mathematicians. In A. Gagatsis (Ed.), Proceedings of the 2nd Mediterranean Conference on Mathematics Education (Vol. 1, pp ). Nicosia: The University of Cyprus. Dreyfus, T., & Eisenberg T. (1986). On the aesthetics of mathematical thought. For the Learning of Mathematics, 6(1), Ersoz, F. A. (2009). Proof in different mathematical domains. ICME Study, 1, Hanna, G. (1990). Some pedagogical aspects of proof. Interchange, 21(1), Hanna, G. (1996). The ongoing value of proof. In L. Puig & A. Guietrrez (Eds.), Proceedings of the 20 st International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME 20) (Vol. 1, pp ). Valencia: PME. Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the national council of teachers of mathematics (pp ). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Hemmi, K., & Löfwall, C. (2009). Why do we need proof. Proceedings of CERME 6 - Sixth Conference of European Research in Mathematics Education (pp ). Lyon: CERME. Hersh, R. (1993). Proving is convincing and explaining. Educational Studies in Mathematics, 24(4), House, P. A., & Coxford, A. F. (Eds.). (1995). Connecting mathematics across the curriculum. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

110 186 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי Jones, K., Gutiérrez, A., & Mariotti, M. A. (2000). Proof in dynamic geometry environments: Guest editorial. Educational Studies in Mathematics, 44(1-3), 1-3. Retrieved from Leikin, R. (2009). Multiple proof tasks: Teacher practice and teacher education. ICME Study, 19(2), Leikin, R., & Lev, M. (2007). Multiple solution tasks as a magnifying glass for observation of mathematical creativity. In J. H. Wo, H. C. Lew, K. S. Park, & D. Y. Seo (Eds.), Proceedings of the 31 st International Conference for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp ). Seoul: PME. Leung, A., & Lopez-Real, F. J. (2002). Theorem justification and acquisition in dynamic geometry: A case of proof by contradiction. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7(2), Levav-Waynberg, A., & Leikin, R. (2009). Multiple solutions for a problem: A tool for evaluation of mathematical thinking in geometry. Proceedings of CERME 6 - Sixth Conference of European Research in Mathematics Education (pp ). Lyon: CERME. Lo, J. J., & McCrory, R. (2009). Proof and proving in mathematics course for prospective elementary teachers. ICME Study, 19(2), Loewenberg Ball, D. L., Hoyles, C., Jahnke, H. N., & Movshovitz-Hadar, N. (2000). The teaching of proof. ICME IX Discussion Document, Tokyo, Japan. Martin, T. S., McCrone, S. M. S., Bower, M. L. W., & Dindyal, J. (2005). The interplay of teacher and student actions in the teaching and learning of geometric proof. Education Studies in Mathematics, 60(1), National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Polya, G. (1973). How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton, NJ: Princeton University Press. Polya, G. (1981). Mathematical discovery: On understanding learning and teaching problem solving. New York: Wiley. Rav, Y. (1999). Why do we prove theorems? Philosophia Mathematica, 7(1), Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press. Schoenfeld, A. H. (1988). When good teaching leads to bad results: The disasters of "well-taught" mathematics courses. Educational Psychologist, 23(2), Sinclair, N. (2011). Aesthetic considerations in mathematics. Journal of Humanistic Mathematics, 1(1), 2-32.

111 בעיה אחת, הרבה דרכי פתרון: ריבוי הוכחות כגשר בין תחומי המתמטיקה 185 Skemp, R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, Stylianides, A. J. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal of Research in Mathematics Education, 38, Tall, D. (2007). Teachers as Mentors to encourage both power and simplicity in active material learning. Plenary Lecture at the Third Annual Conference for Middle East Teachers of Science, Mathematics and Computing, Abu-Dhabi. מקורות נוספים בעברית הקשורים לנושא המאמר )אינם מצוטטים במפורש בגוף הטקסט(: אפלבאום, מ' וסמובול, פ' )2885(. תגובה למאמר: "הוכחה בדרך אחרת". על"ה, , יאנובסקי, ל' )2811(. פתרון בעיות לא שגרתיות בעזרת שיטות מקוריות מתחומים מתמטיים שונים. על"ה, 45, לייקין, ר' )2886(. על ארבעה סוגים של קשרים מתמטיים ופתרון בעיות בדרכים שונות. על"ה, , לייקין, ר', לבב-ויינברג, ע' וולטמן, א' )2812( ריבוי פתרונות לבעיה בגאומטריה והכללת הבעיה. על"ה, 45, שריקי, ע' וזיסקין, ק' )2885(. אפשר גם בלי טריגונומטריה דרך אחרת לחישוב אורכי המחוגים של מעגל חוסם ומעגל חסום של משו. על"ה, ,

112 180 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי חוויות ורשמים, מעצם טבעם, הם אישיים. אנשים שונים מתרשמים מאותו אירוע באופן שונה. לכן כדי להבין את ההבדלים בין ההתרשמויות השונות, רצוי לדעת כמה פרטים על בעל ההתרשמות. ובכן, איש שבע כנסים אני. ש ב עת י כנסים, כינוסים, סדנאות ועצרות. זה שלושים וחמש שנים, מדי שנה בשנה, אני טס בקיץ לחוץ לארץ לאיזה כנס. הייתי בכל המקומות שניתן לחשוב עליהם, חוץ מפסגת האוורסט. ראיתי איך דברים מתחילים לחזור על עצמם, לפעמים בדיוק כמו שהיו, לפעמים תוך שימוש במונחים חדשים, אבל בעצם, "אותה הגברת בשינוי אדרת". מה מניע אותי, אם כך, לטוס וד איזה כנס בקיץ 2813? להתעדכן, אני אומר צמי. גם אם איווכח שאין חידושים זה יהיה עדכון. זה יהיה חיזוק לקביעתו של קהלת: "מה שהיה ה שיהיה ומה שנעשה ה שיעשה אין כל חדש תחת השמש". שווה בעיניי לנסוע לקצה העולם כדי לקבל תמיכה לטענה שקהלת אכן היה החכם מכל אדם. ולי, מצד אחר, למרות הכול, קהלת טעה ובכל זאת התחדש משהו. ובכן, טסתי לפראג לכנס SEMT 13 )Symposium on Elementary Maths Teaching( שהתקיים בפקולטה לחינוך של אוניברסיטת קארל University( )Charles בין 10 ל- 23 באוגוסט בדיעבד, מצאתי כמה סיבות טובות שהצדיקו את נסיעתי. אמנם ברוב המושבים שבהם נכחתי לא גיליתי חידושים, בשניים. למעט הרצאת האחד רוז של המליאה גריפיתס.)Rose Griffiths( כותרת הרצאתה הייתה: Working with children in public care who have difficulties in mathematics. גריפיתס פיתחה אמצעי למידה מוחשי כדי להסביר לילדים עובדות חיבור פשוטות כמו: שצריך זה וכדומה. להסביר עובדות כה לילדים בגילאים 3-6 מעידות על כך שלפנינו ילדים עם צרכים מיוחדים. הדאגה לילדים עם צרכים מיוחדים כשהיא כשצמה היא כבר דבר הנוגע הלב עוד לפני הכניסה לפרטים. גולת הכותרת של ההרצאה הייתה מספר קטעי וידיאו שבהם נראתה גריפיתס עובדת עם הילדים הה. ההתנהלות שלה שהייתה מלאת רוך, סבלנות, חמימות והתחשבות המחישה ומעים שהם לא רק אנשי אקדמיה יבשים, א גם בני- אדם עם רגשות. מושב אחר שריתק אותי היה מושב הסדנה של שרה הרשקוביץ ממט"ח ירית פלד מאוניברסיטת חיפה שכותרתה: Modeling and curriculum in elementary school mathematics. במושב זה הציגו מנחות הסדנה למשתתפיה כמה בעיות מילוליות לא שגרתיות. בעצם ההצגה של בעיות כה לאנשי חינוך מתמטי ותיקים יותר וותיקים פחות היה משום חידוש.

113 סנכמ תויווח 183 תוסנתהה זה האיבה ונת היצקלפרל יכרד ונ הבישחה ןורתפב.תויעב איה המרג ונל תויהל םיעדומ תולהנתהל ונ ךלהמב ןורתפ תויעב הרשפאו ונל תוושהל ונתולהנתה תולהנתהל הנוש ונמ תולגלו םימעפ איה הפידע.ונ וז רשאב דצל ימדקאה.סנכה לבא לכל סנכ שי םג דצ.יתרבח SEMT-ש ןוויכמ ונניא סנכ,ינומה אוה רשפאמ תוחיש תויתועמשמ םירכמ םיקיתו םיבשומה םגו רשפאמ רוציל תויורכיה.תושדח יהמ היעבה השקה ב היכ'צ םימיב?הלא יתלאש דידי.קיתו,תותיחשה אוה.בישה וז םג היעבה,ונ,יתרמא א ונ שי דוע המכ תויעב.תושק רויסב וכרעש ינגראמ סנכה דח תונומראה תוביבסב גארפ אצי יל רבדל תיטנרוטקוד.הידוושמ תוברתה תידוושה הניא לכ ךכ תרכומ לארשיב לבא לכב ז יצמ ינש םירכומש םירבד בורל :םילארשיה דחאה אוה ויטרס רמגניא ןמגרב ינשהו אוה הרופיס יבליב המש( תידוושב :אוה.)Pippi רופיסה ה רבחתמ םרופיסל םידליה האצרהב.סתיפירג םידליה סתיפירג םייח תוחפשמב תוצמאמ דועב יבליבש היח ילב םירוה.ללכב תיטנרוטקודה הרפיס יל תודלות הייח תרבחמ,רפסה דירטסא.ןרגדניל ררבתה יל יתעתפהל איהש התמ,ןמזמ תנשב 2882 ליגב.35 יתרזחשכ הצרא ירק הי םיטרפ םיפסונ.הידפיקיוב תיטנרוטקודה תידוושה הרפיס יל יכ םיחנמה ה ושרד הנממ קוחמל ה'זאיפ תמישרמ תורוקמה טרוטקודה ה הנעטב אוהש ןשוימ ו יטנוולר :יתבשחו י ול רודל הלאש םה.ויחנמ,ףוסבלו דצה יתורייתה.סנכה גארפ איה תחא םירעה תופיה.ל ב ת ב ריע לכבש עגר ןותנ ה םייקתמ הב,טרצנוק ש הייסנכב ו ש םלב.םיטרצנוק תלוג ה תרתוכה איה הדוצמה (,)Pražský hrad וז הדמעש לומ ויניע אקפק בתכשכ ורופיס."הריטה" הדוצמה איה ר יתוריית אצוי.ןפוד הימורממ ןתינ תופצל הדגה תיחרזמה רהנ הבאטלוה רבועה הבלב.גארפ הכותב םנשי תויסנכ תונומראו םיקיתע הנשיו םג תטמס יפרוצ בה.)golden lane( אקפקל היה םש רדח ובו אוה בתכ המכ.ויתוריצימ םוקמב רחא,הדוצמב ןומרא,ץיבוקפול ןתינ תרל תורוטיטרפ בתכב םדי,ןדייה טרצומ.ןבוהטבו ימל אקפקש םיניחלמהו םייסלקה הלאה םיבורק,ובלל רוקיבה תומוקמב הלאה ררועמ תושגרתה.הבר ונשיו םג דצה :ידוהיה יתב תסנכה םיקיתעה ורמתשהש תיבו תורבקה ובש ןמטנ ל"רהמה.גארפמ,ךכו,םויסל ינא בש תדוקנל הלחתהה,יירבד לא,תלהק ינאו :רמ םג םא ןיא שדח תחת שמשה ןיידע ןתינ תונהיל םירבדהמ.םינשיה םלזמל יפתתשמ,סנכה ימש גארפ ויה םיריהב לכב תומי סנכה ךכ התווי םת הרימא תפסונ :תלהק קותמ" רה בוטו םייניעל תרל ".שמשה

114 118 כתב-עת למחקר ויון בחינוך מתמטי References Grifiths, R. (2013). Working with children in public care who have difficulties in mathematics. In J. Novotna & H. Moraova (Eds.), Proceedings of the International Symposium Elementary Maths Teaching: Tasks and Tools in Elementary Mathematics (pp ). Prague: The Czech Republic Charles University. Peled, I., & Hershkoviz, S. (2013). Modeling and curriculum in elementary school mathematics. In J. Novotna & H. Moraova (Eds.), Proceedings of the International Symposium Elementary Maths Teaching: Tasks and Tools in Elementary Mathematics (pp ). Prague: The Czech Republic Charles University.

115 תופה ץר תוכירדמ יתש רפס הצלמה 111 ינא קיזחמ ידיב יתש,תורבוח ציש רו ףוסב 2812 טמ ןוכמ,ת"פומ טבמבש ןושאר תרנ תוקד ידמל האוושהב םירפסל םייעדמ יבר.ףקיה הנומתה ףד הכירכה הריאשמ םוקמ :קפסל םינימזמ םיארוקה תוולתהל סיל הנטקה עסמב יוור תקתפרה תויגול ץראב.תופה ארוק,רקי יתמ רק הנורח רפס תקתפרהה?סילא,יל רשאכ תייה דלי ןטק,תננובתהו דחי,ךירוה תונומתב סילא ו ןובנראה ןועשה סיכב?תידופאה תרזחשכ אורקל רפסב ליגב רגוב תמסקוהו בוש בושו תורעה'מ 'םיילושה סיאו לורק רזוש ךרדבכ בגא ךרו,רפסה ףשוחו ארוקה קמועל יפוסוליפ טעמכ יתלב?לבגומ רפס היה רפס הבוח ירודל תורוד םידלי תוברתב.תילגנאה ןיא פ רודש היזיוולטה םיבשחמהו םיריכמ סילא רקיעב םיטרסמ םירוכזאמו םייארקא תשרב.טנרטניאה ר"ד הרטע יקירש רוספורפו הצנ -ץיבושבומ,רדה יתש תויחמומ םוחתב ךוניחה,יטמתמה תועודיה ןתויתריציב ןתונוכנבו תכלל תקתפרהל תויכוניח,תולק וביצה ןמצעל המישמ :תבכרומ איבהל סילא לא םיטנדוטסה ( איבהל םיטנדוטסה לא?סילא,בושח רקיעה םגיצהל דחא.רח תחא?תרח םתמש בל ךכל םצעש רובידה רפסה רבכ ררועמ תולאש.)?תוקפסו מ םיטביהה םיברה,רפסה ורחב תורבחמה דקמתהל םוחתב.הקיגולה ןעמל,תמאה הארנכ רדסהש תלבק תוטלחהה היה :ךופה ךות ידכ שופיח רחא רמוח לוכיש לקהל דמולה ךופהלו תדימל הקיגולה 'היח'ל, ןה ועיגה הקתפרהל הוולמה תקתפרה'.'סילא זא המ ןה יתש תורבוחה?ולאה ןה ןניא דוע רפס רעומ 'סילא' ןכש,השק ילו ףא יתלב,ירשפא בותכל רבד כ ירחא ןיטרמ.רנדרג ןה םג רופיס ישפוח תובקעב 'סילא' הרשהבו הוולמה ףסב תודיח תויגול ןונגסב ורפס דנומייר "Alice in ןאילומס.Puzzle-Land" ולא ןה ךא םג תוחפ רפסמ דומיל הקיגול םיטנדוטסל

116 112 ןויעלו רקחמל תע-בתכ יטמתמ ךוניחב םיחמתמה רוהב,הקיטמתמה ךירדמו הצרמל סרוקב אובמ.הקיגולל המו דחוימ?ןהב בוליש םיטוטיצ ירפסמ האירק םינוידו םהב עודי רבדכ השועש עוצקמה הקיטמתמ שבי','תוחפ ךכבו ליעומ.התדימלל ןפב יעבט ורפס סיאול,לורק אוהש םצעב ומש יתורפסה יאקיטמתמה ןקיגולהו סלר'צ 'גדיווטול,ןוס'גדוד עגונ רפסמב בר םיאשונ הקיגולב וליפאו.היתודוסיב םל סיאול לורק בתכ רפסה 'סילא' רפסכ.דומיל,ןכל הטלחהה תורבחמה תכלל תדימלב הקיגולה יפל ללמ רפסה התייה הצימא ו הטושפ ללכ.עוציבל!ךכ םיגדהל שיחמהלו םיללכה יקוחו הקיגולה תועצמאב תמגוד,רפסהמ א תחקל רפס האירק דחוימ שמתשהלו רפסב רוקמכ ירקיע הארוהל הדימללו סרוק רדוסמ.הקיגולב הטלחה וז,השרד,ןבומכ האירק תשדוחמ לכ הלימ,הלימו לופיטו לכב טפשמ שממ ' 'הטצניפ יתש תורבחמה וחיכוה פ תפסונ ןהש תופולא.ךכב תרבוחב ףס תויוליעפה התנבנ תביבס הדימל הניערגבש םיאצמנ םיעטק קרפהמ ןושארה ורפסב לורק בוש( שי,שיגדהל רדסב,םתעפוה ךכ םיטנדוטסהש םירומא תווחל רופיסה.)שדחמ רפסב דומילה ומכ רפסב דומיל לכ קרפ שדקומ אשונל יגול,םיוסמ תובקעבו ירק עטק' 'רוקמה דמולה הנפומ לא יפד הפה ןהבו :תולאש,הליחתב תולאשה תוליבומ דמולה חותינל יגול םירבדה םירומאה,עטקב ךשמהבו תולאשה תונווכמ דמולה ןודל תויצאוטיסב םניינעש םיטפשמבו אוה אשונה יגולה םיוסמה לפוטמה.קרפב חכשנ ןפה יטמתמה 'וטנ' תמגודה שי לופיט ירשקב הלכה תחפשמב,םיעבורמה רקח תוושמ תויעוביר.דועו יפדב הפהה םיעיפומ םיעטק םג םיקרפמ םיפסונ רפסב תקתפרה" סילא ץראב "תופה םישמשמה הרזחכ לוגרתו :אשונה תוילריפסה תדימלב אשונה שממ תשממתמ ךכבו( חלסנ 'אטח' תורבחמה תריבש רדס.)רופיסבש הליה תורבחמה תורבוחה ןניינעש הקיגול ודמע לומ המישמ תיטקדיד תפסונ :הלק טילחהל רובעב לכ אשונ לכו,הלטמ יהמ תמר קוידה המיאתמה.ןוידל רבדה וניא :טושפ העודי החידבה,גולויב יאקיטמתמ.ןקיגולו רשאכ םה םיאור ןובנרא ןבל דחא ףלוח לומ םהיניע תוריהמב ומכ(,רפסב ךא,)הדשב גולויבה קיסמ לכש םינובנראה םה,םינבל יאקיטמתמהו ןקתמ ות רמו הנקסמהש הנוכנה איה יכ םייק תוחפל ןובנרא ןבל.דחא םג קוידה ה וניא םיאתמ,ןקיגולל ויפלו םייק ןובנרא תוחפ ודצ דחאה.ןבל תייעב יצמ ןוזיאה קוידה יטמתמה תונדפקהו ל שבוי" "רתי תלבקמ ןורתפ ישעמ תרבוחב תדעוימה הבש,הצרמל לכ תויוליעפה תודעוימה םיטנדוטסל תוגצומ דחי תונורתפ םיירשפא תולאשל ףוריצבו ןויד בחרנ תוברל תוסחייתה תיגשל תוצופנ.םידמולה ןתויחמומ הרטע ו הצנ רוהב הקיטמתמה תשגרומ הנבמב רורבה דיחאהו לכ,םיקרפה הינבהב תיתגרדה עדיה יגולה אשונמ אשונל ןכו ךותב לכ.אשונ,ז ןה תוב עדי,ידפולקיצנא תורו ןתבוח ביחרהל עדיה ארוקה םימוחתב

117 רפס הצלמה 113.םיבר תובקעב,ךכ םיחיוורמ,םיטנדוטסה,מל ןוידה יעדמה אשונב ץראה-רודכ הליפנו תישפוח םאה( ןכא סילא הלו עיפוהל יא םש הילרטסב םותב.)?הליפנה חנזוה םג טביהה יגוגדפה,יללכה השחמהו ןוידה דיקפת האירקה שפוחהו תועטל תוהתלו קלחכ ותוחתפתהמ דמולה האב ידיל יוטיב ךרו לכ.רפסה תורבחמה תור דיקפתה יזכרמה תרבוחה ףס' 'תויוליעפ רפסכ דומיל םיטנדוטסל יחרפ.הארוה יל הארנ יכ הרומל ידיתע ו םג רמוח ןגרמ םיקלחש םיבר ונממ רשפא יוצרו בל רוהב הקיטמתמה רפסה-תיבב ןווגמב בחר.םיליג,הצרמכ יצמ ןאכ סרוק ידומיל בשוחמ בטיה הניחבמ,תיטקדיד יתיהיזו וב םג םגד תיינבהל יכילהת.הדימל ארוק הסונמ ןיחבי םיקרפה םג ביכרב רקחמ :הלועפ לכ אשונ אשונו חתפנ ןולאשב רזוחש ומצע ירחא דומיל.אשונה ךכ דמולהש הצרמהו םילוכי קודבל םתומדקתה.םמצעב ףסונ,לכל הפ,םשו יפדב הפהה םינוידבו םיבחרנה תרבוחב הצרמל זמרנ יכ הקיגול הטושפ תרבסומש הרורבו הפי לכ ךכ איה קר קלחה' הארנה,'ןיעל ירוחאמו תותלדה תורוגסה תוניתממ םיתעל תובורק תועתפה 'תוליפנ'ו הקיגולל הרזומ םיסקודרפלו.םייגול הנה רפסמ ןטק :תמגוד םאה' שי ןעבוכל םיעבוכ?ומ דציכו לוכי אוה ריסהל עבוכה ו לומ '?ךלמה ש ןוכנ הארנ יד בורק תייעבל רפסה חלגמש קר הלא א םיחלגתמ?םמצעב המ עבונ ךכמ קוספהש ךלמה' בשוח עבוכהש ש שאר ןעבוכה וניא 'בונג אוה?רקש קוספ םאה םויק ףוגה ויש שארה אוה יאנת יחרכה קיפסמ תורשפ תתירכ?שארה דציכו רשפא חסנל ירבד סילא ינא' תנווכתמ המל ינאש 'תרמ קוספכ?יאנת ילו קוספ?תמא,יד ונחנא רבכ םיניחבמ ורפס לורק ל הביתכה הרטע הצנו ילו יהוז?הרטמה ול ונייה םיחתופ תורבוחה,וללה ונחנא יפכ רמאנש תחיתפב קרפ םויסה ( םויסב קרפ )?החיתפה ' ונייה םישגופ לכ םימייקש םירוציה ץראב,תופה םגו בנראה ןבלה תכלמ.'תובבלה זא ימל דעוימ הקיגול' ץראב?'תופה ירחא האירק,תננערמ חסננ :ךכ לכל הלא םיצורש ריכהל יגשומ דוסיה הקיגול דומלל הת ןפב,רדוסמ םירומל ירומלו םירומ םינווכתמש דמלל הקיגול תפשבו םוימוי םיברל םיצורש תונהיל בוש בושו קחשממ,יגול יטמתמ תוקפסמש יטקדידו יתש ונל תוכירדמ ץר.הקיגולה םאה יתנווכ יתשל תורבחמה ירצותל?ןתדובע רק דוו תועמשמה רשקה, םג-ו םירבד םיפסונ.םיבר

118